三、连通性

 

3.1  连通性和Whitmey定理

 

定义  V’真包含于V(G)，G[V(G)-V’]不连通，而G是连通图，则称V’是G的顶剖分集。最小顶剖分集中顶的个数，记成κ(G)，叫做G的连通度；规定κ(Kv)=υ-1；κ(不连通图)= κ(平凡图)=0。由一个顶组成的顶剖分集叫割顶。没有割顶的图叫做块，G中的成块的极大子图叫做G的块。

定义  E’包含于E(G)，G为连通图，而G-E’(从G中删除E’中的边)不连通，则称E’为G的边剖分集，若G中已无边剖分集E″，使得|E″|<|E’|,则称|E’|为G的边连通度，记成κ’(G)。|E’|=1时，E’中的边叫做桥。规定κ’(不连通图)=0，κ’(Kv)= υ-1。

定义  κ(G)>=k时，G叫做k连通图；κ’(G)>=k时，G称为k边连通图。

k连通图，当k>1时，也是k-1连通图。

k边连通图，当k>1时，也是k-1边连通图。

上面就是顶连通与边连通的概念，好象不指明的就是指顶连通了。

 

定理1  κ(G)=<κ’(G)=<δ(可以复习一下第一章的1.2：δ=min{d(v_i)})

证：设d(v)=δ，则删除与v边关联的δ条边后，G变不连通图，所以这δ条边形成一个边剖分集，故最小边剖分集边数不超过δ，即κ’(G)=<δ。下证κ=<κ’。分情形讨论之。

若G中无桥，则有κ’>=2条边，移去它们之后，G变成不连通图。于是删除这κ’条中的κ’-1条后，G变成有桥的图。设此桥为e=uv，我们对于上述κ’-1条删去的每条边上，选取一个端点，删除这些(不超过κ’-1个)端点，若G变得不边能，则κ=<κ’-1；若仍连通，则再删去u或v，即可使G变得不连通，于是κ=<κ’。证毕。

这个定理很好理解，图论中的一些定理常以这种“友好”的面目出现。

 

下面就是Whitmey定理

 

定理2(Whitney,1932) υ>=3的图是2连通图的充要条件是任二顶共圈(在一个圈上)。

证：若任二顶共圈，任删除一个顶w后，得图G-w。任取两顶u,v∈V(G-w)，u,v在G中共存于圈C上，若w不在C上，则G-w中仍有圈C，即u与v在G-w中仍连通；若w在G中时在C上，在G-w中u与v在轨C-w上，故u与v仍连通。由u与v之任意性，G-w是连通图，故κ(G)>=2，即G是2连通图。

反之，若G是2连通图，υ>=3,任取u,v∈V(G)，用对d(u,v)的归纳法证明u与v之间有两条无公共内顶的轨

当d(u,v)=1是时，因κ=<κ’=<δ，故κ’>=2，uv边不是桥，G-uv仍连通，于是G-uv中存在从u到v的轨P1(u,v),这样从u到v有两条无公共内顶的轨P1(u,v)与边uv。

假设d(u,v)<k时(k>=2),结论已成立，考虑d(u,v)=k的情形。令P0(u,v)之长为k,w是P0(u,v)上与v相邻的顶，则d(u,w)=k-1，由归纳法假设，在u,w之间有两条无公共内顶P与Q，因G是2连通较长，故G-w仍连通。在G-w中存在轨P’(u,v)<>P0(u,v)，令x是P∪Q上P’的最后一个顶。因u∈P∪Q，故x存在(可能x=u)。不妨设x∈V(P)，则G有两个u,v之间无公共内顶的轨：一个是P上从u到x段并在P’上从x到v段；一个是Q+wv。证毕。

 

图论的定理证明，没有其他数学的那么多推导，那么多的公式，符号也是有限的几个，看多了就明白了。概念清晰还是很重要，很多东西是概念性的。还有就是构造了，照题能构造出的相应的图有时就迎而解了。

就是打字时中英文切换麻烦。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.2  割顶、桥、块

 

割顶、桥、块都是一个图的关键部位了。本节给出三个定理来阐述这三个概念，好象少了点，不过这本书的东西有些地方很语焉不详的，而且有些东西到处穿插，并且有很强的理论性，很少涉及实践中的问题。看起来比较的累人。

 

定理3  v是连通图的一个顶点，则下可述命题等价：

(1)   v 是割顶

(2)   存在与v不同的两个顶u,w，使得v在每一条由u到w的轨上

(3)   存在V-{v}的一个划分V-{v}=U∪W，U∩W=φ，使得对任意的u∈U,w∈W,v在每一条由u到w的轨上。

 

 

定理4  x是G的一边，G是连通图，则下述命题等价：

(1)    x是G的桥。

(2)       x不在G的任一圈上。

(3)       存在顶u,v∈V(G),使得x在每一个从u到v的轨上。

(4)       存在V(G)的划分U与W，使得任二顶u,w, u∈U,w∈W时，x在每条从u到v的轨上。

 

上面的都没什么可证的，就是轨、连通片、割顶、桥等概念翻来覆去的用就是了。

 

定理5  G连通，υ>=3,则下列命题等价：

(1)G是块。

(2)   G的任二顶共圈。

(3)   G的任一顶与任一边共圈

(4)   G的任二边共圈

(5)   任给G的二顶及一边，存在连接此二顶含此边之轨

(6)   对G的三个不同的顶，存在一轨，连接其中两个顶，含第三个顶

(7)   对G的三个不同的顶，存在一轨，连接其中两个顶，不含第三个顶。

(本也没什么可证的了，但就这样结束了也太快了，这个证一下)

证：(1)>>(2)，(2)>>(1)见定理2

(2)>>(3) 只考虑u为G的任给一个顶，vu是G中任给定的一条边，且u<>v,u<>w的情形。设C是含u与v的圈，若w在C上，则C上含u的轨P(v,w)与边vw形成一个圈，它含u及边vw。若w不在C上，因v不是割顶，由定理3，存在不含v的轨P(w,u)。令u’是P(w,u)与C从w沿P(w,u)看来的第一个公共顶，则由边vw,P(w,u)上w到u’段，以及C上含u的轨P’(u’,v)并成一个圈，此圈满足(3)的要求。

(3)>>(4)与(2)>>(3)类似证明。

(4)>>(5) 已知任二边共圈，设u,v是G上任给定的两个顶，x是任给定的一条边，只考虑x与u,v皆不相关联的情形。由任二边共圈显然有任二顶共圈，于是由于(2)>>(3)知u与x共圈，设此圈C1；同理v与x共圈，设此圈是C2；若v∈C1或u∈C2,则(5)成立；若u不属于C2，且v不属于C1，则如下构作含x之轨P(u,v):从u出发沿C1到达C1与C2上第一个公共顶w,再从w出发沿C2含x的部分到达v。

(5)>>(6) 设u,v,w是G的三个顶，且与w相关联的一条边是x,由(5)存在轨P(u,v)，x在P(u,v)上，于是w在P(u,v)上。

(6)>>(7) u,v,w∈V(G),由(6)，存在轨P(u,w)，P(u,w)含顶v,则P(u,w)的从u到v的一段不含w。

(7)>>(1) 由(7)，对任给定的二顶u与v,不存在这样的顶，它在从u到v的每一轨上，由定理3，G无割顶，故G是块。证毕。

 

讲了这么多，下节才涉及到实践中的问题。下节讲可靠通讯网的构作。不过下节又是本章的最后一节了。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.3  可靠通讯网的构作

 

我们要构作一个有线通讯网，使得敌人炸坏我几通讯站后，其余的通讯站仍然可彼此通话。显然，有两个要求是必要的：一是不怕被敌人炸坏站的数目要多，一是整个造价要小。这个实际问题的数学艺术模型如下：

G是加权连通图，k是给定的自然数，求G的有最小权的k连通生成子图。当k=1时，它就是用Kruskal算法求得的生成树；当k>1时，是尚未解决的难解问题之一。哦，原来k>1时是没解决的难题，自己以前也想过这方面的东西，只是想了半天也想不出个所以然，原来是个大难题呀。

当G=K_υ，每边权皆为1时，Harary于1962年解决了这一问题。下面介绍Harary的工作。

令f(m,n)表示n个顶的m连通图当中边数的最小值，m<n。由Σd(v)=2e，κ=<κ’=<δ，

  f(m,n)>={mn/2}

Harary实际上构作出一个n顶的m连通图，它的边数恰为{mn/2}条，且f(m,n)={mn/2}。此图记成H(m,n) 。

(1)                     m是偶数，m=2r。H(2r,n)以{0,1,2,…,n-1}为顶集合。当i-r=<j=<i+r时，在顶点i与j之间连一边，这里的加法在mod n意义下进行。

(2)                     m是奇数，m=2r+1,n是奇数。先构作H(2r,n),然后对1=<i=<n/2的i,在i与i+n/2间加上一条边得H(2r+1,n)。

(3)                     m是奇数，m=2r+1,n是奇数。先构作H(2r,n),然后在顶点0与(n-1)/2,0与(n+1)/2之间加上边，在顶i与i+(n+1)/2间加上边，其中1=<i=<(n-1)/2，则得到H(2r+1,n)。

无法把图画上来，H(6,8)、H(5,8)、H(5,9)看一下图就明白这个构作的方法了。

 

下面证上面的构作出来的东西是符合要求的。

定理6  H(m,n)是m连通图，且边数最少

证：m=2r时，我们来证明H(2r,n)，设有少于2r个顶组成的顶剖分集。若V'是一个顶剖分集，且|V'|<2r，又设i与j两个顶分别属于H(2r,n)-V'的不同连通片，令S={i,i+1,...,j-1,j},T={j,j+1,...,i-1,i},

其中加法在mod n下执行。因为|V'|<2r，不失一般性，设|V'∩S|<r，则显然存在S-V'中的序列，从i如至j终，使得序列中连续二顶之差的绝对值最大是γ。但这样的序列中相邻顶之间由(1)知存在边，即在H(2r,n)-V'中有轨P(i,j),与i,j分居于H(2r,n)-V'的两年连通片中相矛盾，故H(2r,n)是2r连通的。

相似地可以证明m=2r+1时，H(2r+1,n)是2r+1连通的。由于

   f(m,n)>={mn/2}, ε(H(m,n))={mn/2},

而H(m,n)是n顶m连通图，故有

            f(m,n)=<{mn/2},

从而得

           ε(H(m,n))=f(m,n)={mn/2}。

证毕。

 

由于κ=<κ'，故H(m,n)也是m连通图，若用g(m,n)表示n个顶m边连通图中最少边数，则对1<m<n,g(m,n)={mn/2}。

 

就这样第三章也结束了，理论讲了一大堆。