最大子段和 转载

转载来源：百度百科:最大子段和

算法标签 递推，DP，最大子段和

问题描述

问题： 给定n个整数（可能为负数）组成的序列a[1],a[2],a[3],…,a[n],求该序列如a[i]+a[i+1]+…+a[j]的子段和的最大值。
当所给的整数均为负数时定义子段和为0，依此定义，所求的最优值为： Max{0,a[i]+a[i+1]+…+a[j]},1<=i<=j<=n
例如，当（a[1],a[2],a[3],a[4],a[5],a[6]）=(-20,11,-4,13,-5,-2)时，最大子段和为20。

最大子段和是动态规划中的一种。

分治法

算法描述如下

针对最大子段和这个具体问题本身的结构，我们还可以从算法设计的策略上对上述O(n^2)计算时间算法进行更进一步的改进。从问题的解结构也可以看出，它适合于用分治法求解。

如果将所给的序列a[1:n]分为长度相等的两段a[1:n/2]和a[n/2+1:n],分别求出这两段的最大子段和，则a[1:n]的最大子段和有三种情况：

（1） a[1:n]的最大子段和与a[1:n/2]的最大子段和相同

（2） a[1:n]的最大子段和与a[n/2+1:n]的最大子段和相同

（3） a[1:n]的最大子段和为a[i]+…+a[j]，并且1<=i<=n/2，n/2+1<=j<=n。

对于（1）和（2）两种情况可递归求得，但是对于情况（3），容易看出a[n/2]，a[n/2+1]在最大子段中。因此，我们可以在a[1:n/2]中计算出s1=max(a[n/2]+a[n/2-1]+…+a[i]),0<=i<=n/2，并在a[n/2+1:n]中计算出s2= max(a[n/2+1]+a[n/2+2]+…+a[i])，n/2+1<=i<=n。则s1+s2为出现情况（3）的最大子段和。据此可以设计出最大子段和问题的分治算法如下：

#include<stdio.h>
#define MAX 100
int maxsub(int left,int right);
int a[MAX];
int main()
{
    int i,count;
    scanf("%d",&count);
    for(i=0;i<count;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    printf("%d\n",maxsub(0,count-1));
    return 0;
}
int maxsub(int left,int right)
{
    int center,i,sum,left_sum,right_sum,left_max,right_max;
    center=(left+right)>>1;
    if(left==right)
        return a[left]>0?a[left]:0;
    else
    {
        left_sum=maxsub(left,center);
        right_sum=maxsub(center+1,right);
        sum=0;
        left_max=0;
        for(i=center;i>=left;i--)
        {
            sum+=a[i];
            if(sum>left_max)
                left_max=sum;
        }
        sum=0;
        right_max=0;
        for(i=center+1;i<=right;i++)
        {
            sum+=a[i];
            if(sum>right_max)
                right_max=sum;
        }
        sum=right_max+left_max;
        if(sum<left_sum)
            sum=left_sum;
        if(sum<right_sum)
            sum=right_sum;
    }
    return sum;
}

递推法

在对于上述分治算法的分析中我们注意到，若记b[j]=max(a[i]+a[i+1]+…+a[j]),其中1<=i<=j,并且i<=j<=n。则所求的最大子段和为max b[j]，1<=j<=n。

由b[j]的定义可易知，当b[j-1]>0时b[j]=b[j-1]+a[j]，否则b[j]=a[j]。故b[j]的递推方程为:

b[j]=max(b[j-1]+a[j],a[j])，1<=j<=n。

代码如下：

#include <stdlib.h>
#include<stdio.h>
int main()
{
    int count;
    int a[100];
    int b[100];
    int i;
    int max;
    scanf("%d",&count);
    for(i=0; i<count; i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    b[0]=a[0];
    max=b[0];
    for(i=1; i<count; i++)
    {
        if(b[i-1]>0)
            b[i]=b[i-1]+a[i];
        else
            b[i]=a[i];
        if(b[i]>max)
            max=b[i];
    }
    printf("%d\n",max);
    return 0;
}