斐波那契博弈

斐波那契博弈

题目

一堆石子有n个，两人轮流取，先取者第1次可以取任意多个，但不能全部取完，以后每次取的石子数不能超过上次取子数的2倍。先取完者胜(n>1)。

输入示例

输入: 89
输出: false
解释: 无论你怎么取，都是对方赢

解题思路

注：这个跟威佐夫博弈的区别，就是游戏规则的动态化，一方每次可以取的石子数依赖于对手刚才取的石子数。

这个题的奇异局势是：当n为Fibonacci数列时，先手败。

这里需要引入数论的一个定理：任何正整数都可以表示为若干个不连续的斐波那契数之和。

证明：分解的思想是尽可能分解成大的Fibonacci数。

(1) 齐肯多夫定理--斐波那契数列_MaxMercer的博客-CSDN博客_齐肯多夫定理

例子：

• n取89时，n 是 Fibonacci 。
• 如果先手y取值不小于34，后手直接取完。
• 当先手y小于34时，剩下的石头x在55到89之间。
• x肯定不是Fibonacci数，将x分解，\(x=55+f[i]+…+f[j](55>f[i]>...>f[j])\)
• 此时后手取f[j]就行（下面证明\(f[j]\le 2y\)）,说明对手总能取到每一堆分解数的最后一个，所以对手胜利。

反证法：\(f[j]\le 2y\)

假设\(f[j] > 2y\) ，则 \(y < \frac{f[j]}{2} = \frac{f[j-1]+f[j-2]}{2} < f[j-1]\)。

而最初的石子数是个斐波那契数，即 :

\[n = f[k] = x + y < f[k-1] + f[i] + … + f[j] + f[j-1] ≤ f[k-1]+f[i]+f[i-1] ≤ f[k-1]+f[k-2] ≤ f[k] \tag{1} \]

注意：第一个不等号是严格，矛盾！\(f[j] ≤ 2y\)得证。

代码

public boolean helper(int n){ 
    int f1=1;
    int f2=2;
    int f3=3;
    while(n>=f3)
    {
        f3=f1+f2;
        if(f3==n) return false;
        f1=f2;
        f2=f3;
    }
    return true;
}