尼姆博弈

尼姆博弈

题目描述

母题：有若干堆石子，每堆石子的数量是有限的，二个人依次从这些石子堆中拿取任意的石子，至少一个（不能不取），最后一个拿光石子的人胜利。

输入示例

输入: (1,8,9)
输出: false
解释: 这是奇异局势，所以先手输了。

解题思路

1. 假设现在只有一堆石子，你的最佳选择是将所有石子全部拿走，那么你就赢了。
2. 假设现在有两堆石子且数量不相同，那么你的最佳选择是取走多的那堆石子中多出来的那几个，使得两堆石子数量相同，这样，不管另一个怎么取，你都可以在另一堆中和他取相同的个数，这样的局面你就是必胜。
3. 假设现在有三堆石子 ，我们用（a，b，c）表示某种局势，首 先（0，0，0）显然是奇异局势，无论谁面对奇异局势，都必然失败。第二种奇异局势是 （0，n，n），只要与对手拿走一样多的物品，与假设（2）类似。最后都将导致（0，0，0）。仔细分析一下，（1，2，3）也是奇异局势，无论对手如何拿，接下来都可以变为（0，n，n）的情型。

注意：与威佐夫博弈区别在于该博弈只能从一堆中取。

一个状态是必败状态当且仅当它的所有后继都是必胜状态， 称之为利己态，用字母T表示。

一个状态是必胜状态当且仅当它至少有一个后继是必败状态，称之为利他态，用字母S表示。

证明

定义：状态（x1,x2,x3）为必败状态当且仅当\(x1\bigoplus x2\bigoplus x3=0\)，这里的\(\bigoplus\)是二进制的逐位异或操作，也成Nim和。

定理：对于任何一个S态，总能从一堆石头中取出若干个使之成为T态。

反证法：

改变\(A[i]\)的值为\(A[i\prime ]\)，即\(A[i\prime]\bigoplus A[i]\neq 0\)，\(S\prime\)为利他态 。

\[S=A[1]\bigoplus A[2]\bigoplus \cdots \bigoplus A[i]\bigoplus \cdots \bigoplus A[n]=0 \tag{1} \]

\[S\prime =A[1]\bigoplus A[2]\bigoplus \cdots \bigoplus A[i\prime ]\bigoplus \cdots \bigoplus A[n]=0 \tag{2} \]

\[S\bigoplus S\prime =A[1]\bigoplus A[2]\bigoplus \cdots \bigoplus A[i]\bigoplus \cdots \bigoplus A[n] \bigoplus A[1]\bigoplus A[2]\bigoplus \cdots \bigoplus A[i\prime ]\bigoplus \cdots \bigoplus A[n]=0 \tag{3} \]

\[\Rightarrow S\bigoplus S\prime =A[i]\bigoplus A[i\prime ]=0\bigoplus 0=0 \tag{4} \]

与已知条件矛盾。

注：\(A[i]\)表示每堆石头数。

代码

public boolean helper(int[] A){
    int xor=0;
    for(int i=0;i<A.length;i++) xor^=A[i];
    if(xor!=0) return true;
    else return false;
}

拓展

尼姆博弈和巴什博弈的结合。

有t堆石子，每堆石子都有n个，A和B轮流从取任意堆里取一定的石子，每次只能从一堆里至少取一个最多取m个，你先取，A取完者胜，问能否获胜？(0<=m,n<=2^31)）

public void helper(int[] A,int n,int m){
    int res=0;
    for(int i=0;i<A.length;i++){
        int t=n%(m+1);    //m+1的倍数 说明先手输
        ans^=t;
    }
    if(res==0) System.out.println("B");   //后手必胜
    else System.out.println("A");         //先手必胜
}

引用

(1) 尼姆博奕（Nimm Game）_shuangde800的博客-CSDN博客