343. Integer Break

问题

将一个正整数分成至少两个正整数的和，使得最大化这些整数的乘积，给出最大乘积。

Input: 10
Output: 36
Explanation: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

思路

先上结论，分解的时候尽量分多一些3，分到不能分再分2，可以使得乘积最大。然后介绍以下两种理解。

理解一
什么时候pq > p + q，其实就是(p-1)(q-1)>1，二者等价。在正整数里，p和q都为2时pq==p+q，所以只要一个至少为2，另一个至少为3即可，也就是p+q至少为5，那么只要一个数大于等于5，就可以把这个数分解成p+q，使得pq > p + q，如果p或者q里面还有大于等于5的数，就将p或q继续分解，不断往下分解，直到因子小于5。

因为要分解到小于5，所以最后的因子一定是2或者3（或者4），因为分成4和分成2是一样的（两个2和=一个4的乘积相同），所以我们考虑3和2要怎么分配。

考虑一个数有m个3和n个2相加，即\(x = 3m + 2n\)，那么积等于m个3和n个2相乘，定义一个函数，\(f = 3^m * 2^n = 3^m * 2^{\frac{x - 3m}{2}}\)，可以得到$ln \ f $是一个关于m递增的函数，如下公式所示。所以m越大越好，m表示3的个数，也就是说分解的时候尽量分多一些3，分到不能分再分2。

\[\begin{split} ln\ f &= m * ln3 + \frac{x - 3m}{2} * ln2 \\ &= \frac{x}{2} ln \ 2 + (ln\ 3 - \frac{3}{2}ln\ 2)*m \end{split}\]

理解二
考虑均值不等式，算术平均数大于等于几何平均数，当且仅当所有数相等时取等号。

\[A_n = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \cdot \cdot x_n} = G_n \]

也就是如果把一个数分成n个数，当均分的时候这些数的积可以取到最大。接下来就是考虑均分的时候，n是多少，或者说考虑每个数是多少？
我们现在把要分解的数记为n，均分成n/x个x，然后写出这个积关于x的函数，\(f(x) = x ^{n/x}\)，那么它的最大值是多少呢，先对函数求导。

\[ \begin{split} ln \ f(x) &= (n/x) * ln \ x \\ \frac{f'(x)}{f(x)} &= \frac{n}{-x^2} * ln \ x + \frac{n}{x^2} \\ f'(x) &= (1 - ln \ x) * n * x ^ {n/x - 2}\end{split}\]

x<e时导数大于0，单调递增，x>e时导数小于0，单调递减，x=e时f(x)取最大，也就是一个数均分成多个e的时，它们的积最大。
考虑问题为正整数，\(f(2) = (\sqrt{2})^n = 1.142^n < 1.442^n = (\sqrt[3]{3})^n = f(3)\)，f(3)>f(2)，所以尽量取3可以使得积最大。

时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)

代码

class Solution(object):
    def integerBreak(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        if(n == 2 or n == 3):
            return n-1
        res = 1
        while(n>=5):
            n -= 3
            res *= 3
        res *= n
        return res     

出于以下考虑，还可以这么写。其中pow的时间复杂度可以达到O(logN)。
如果n%3 == 0，可以分解成n/3个3，它们的积为\(3^{n/3}\)。
如果n%3 == 1，说明和的形式为n/3 * 3 + 1，把其中一个3和单独的1改写为2个2，它们的积为\(3^{n/3-1} * 2 * 2\)。
如果n%3 == 2，说明和的形式为n/3 * 3 + 2，它们的积为\(3^{n/3} * 2\)。
事实上，这三个式子综合一下就是理解一中的式子\(f = 3^m * 2^n = 3^m * 2^{\frac{x - 3m}{2}}\)。

class Solution(object):
    def integerBreak(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        if n>=4:
            if n%3 == 0:
                return 3**(n/3)
            if n%3 == 1:
                return 3**(n/3-1)*4
            else:
                return 3**(n/3)*2
        return n-1