多重网格方法

多重网格方法简介

多重网格方法就是由对偏微分方程里得出的代数方程组的求解的研究引发出来的一种计算方法，现在多重网格方法的研究依然是一个热点，特别是在非线性非对称问题的求解上的使用。

多重网格方法就是由对偏微分方程里得出的代数方程组的求解的研究引发出来的一种计算方法，它已经成为求解大型科学与工程计算问题的最有效方法之一。多重网格方法包括两种不同类型方法，根据构造方法（空间和基函数）的不同,分为一般多重网格方法和多水平方法。一些论著中也将这两种方法统称为多水平方法。

多重网格方法简介 - 发展历史

一个真正的多重网格方法的描述是Fedorenko于1961给出的，随后在1964年他给出了一个特殊问题的多重网格方法，并给出了它的收敛性证明。Bachvalov和Astrakhantsev分别给出了更复杂的一些情况下的结果。但这三人是前苏联科学家，他们的工作一直没有受到重视。1972年Brandt说明了多重网格法的有效性，第一次引起了西方科学家对多重网格方法的关注。随后欧美的计算数学家投入了极大的精力到多重网格方法的研究中，大量的关于收敛性的证明出现。Nicolaides，Bank，Dupont，Hackbusch，Douglas，bramble and Pasciak的一批学者都投入到这一工作中。其中，Hackbusch曾于上世纪八十年代多次到中国讲授他的理论，使我国的学者接触到多重网格方法。结合有限元方法，多重网格方法被用来计算求解各种各样的计算问题。多重网格方法的研究成为一个热点。多重网格方法的收敛性证明比较复杂，用代数的方法研究得到的结果比较难懂，许进超（Jinchao Xu）等人开始用泛函分析的工具研究这一问题，使得这方面的研究得到飞速的发展。其中，Bramble，Pasciak 和 Jinchao Xu提出了所谓BPX预处理子算法，它是现有的多重网格方法的主要组成之一，并被科学计算界广泛使用，特别是它在并行计算方面的优越性。这一开创性工作引发了大量后继研究。同时，Jinchao Xu与Bramble建立了处理无结构多重网格问题的基本框架，后来被从很多学者用来分析大量的多重网格和区域分裂方面的问题。由此引发了多重网格方法新的发展，出现了基于无结构网格的代数多重网格方法。许进超后来进一步发展了上述理论，建立了分析一大类迭代方法的统一框架，包括多重网格，区域分裂以及经典的Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代等。这些深入的研究形成了“空间分解与子空间校正”的一般性原理。以此为题发表在SIAM Review上的论文现已成为该领域的基本文献。