P9531 题解

blog。提供一份代码短的题解。

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一个暴力做法：维护 \(w_i<w_{now}\) 与 \(w_i\ge w_{now}\) 的前后缀 MST，查 \(X_i\) 时将前后缀 MST 合并，直接求得答案。

考虑一棵 \((u_{now},v_{now},W)\) 的前缀 MST。因为 \(w_i<W\) 时 \(w_i\) 越大 \(|W-w_i|\) 越小，所以枚举所有 \(w_i<W\)，按边权从大到小加边：

• 先忽略掉 \((u_{now},v_{now})\) 的边。
• 对于其他 \(w_i<W\)，尝试加入。如果成功加入并且构成了包含 \((u_{now},v_{now})\) 的环，显然需要删除最大边，加入最小边。显然最大边就是 \(w_i\)，最小边就是 \(w_{now}\)，删掉 \(i\) 并加入 \(now\)。

找到这个 \(i\)。那么 \(w_{now}\) 对答案有贡献，当且仅当询问的 \(X\) 有 \(X-w_i> w_{now}-X\)，即 \(X>\dfrac{w_i+w_{now}}2\)。

同理，\(w_i\) 在 \(X>\dfrac{w_i+w_{now}}2\) 时会结束贡献。那么每条边都会有一个贡献区间，可以加入 MST 当且仅当在贡献区间内。

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用并查集模拟上述算法，找出贡献区间 \([l_i,r_i]\)，那么对于不同的 \(X\)，边 \(i\) 的贡献为：

• \(X<l_i\)，没有贡献。
• \(l_i\le X<w_i\)，贡献为 \(|X-w_i|=w_i-X\)。
• \(w_i\le X<r_i\)，贡献为 \(|X-w_i|=X-w_i\)。
• \(X\ge r_i\)，没有贡献。

写个指针状物，因为询问的 \(X_i\) 有序，顺着扫一遍即可。可以看代码理解。

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code，时间复杂度 \(O(nm+q\log m)\)。

写了 1.5k，其实应该可以写进 1k 的（