指数分布的随机数

一、功能

产生指数分布的随机数。

二、方法简介

1、产生随机变量的逆变换法

定理 设 \(F(x)\) 是任一连续的分布函数，如果 $ u \sim U(0, \ 1) $ 且 $ \eta \sim F(x) $。

证明 由于$ u \sim U(0, \ 1) $，则有

\[P(\eta \leqslant x)=P(F^{-1}(u)\leqslant x)=P(u\leqslant F(x))=F(x) \]

所以，\(\eta \sim F(x)\)。定理证毕。

此定理给出了从均匀分布随机数到给定分布\(F(x)\)的随机数的变换。根据该变换可产生分布函数为\(F(x)\)的随机数\(x\)，其算法可用下列两个步骤实现：

1. 产生均匀分布的随机数\(u\)，即\(u \sim U(0, \ 1)\)；
2. 计算\(x=F^{-1}(u)\)。

2、产生指数分布随机数的方法

指数分布的概率密度函数为

\[f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{ \beta } e^{-\frac{x}{ \beta }} & , x \geqslant 0\\ 0 & , others \end{matrix}\right. \]

其分布函数为

\[F(x)=\left\{\begin{matrix} 1- e^{-\frac{x}{ \beta }} & , x \geqslant 0\\ 0 & , others \end{matrix}\right. \]

指数分布的均值为 $ \beta $ ，方差为 $ \beta^{2} $ 。

根据上述的逆变换法，产生指数分布随机数的方法为：

1. 产生均匀分布的随机数 $ u $ ，即 $ u \sim U(0, \ 1) $ ；
2. 计算$ x= - \beta ln(u) $。

三、使用说明

指数分布随机数使用C语言的生成方式如下：

#include "math.h"
#include "uniform.c"

double exponent(double beta, long int a)
{
	double u;
	double x;
	u = uniform();
	X = -beta * log(u);
	return(x);
}

uniform.c文件参见均匀分布的随机数。