2026寒假做题记录

[长沙省集] 火力大喵

tag：网格图分治、前缀和

题意：求满足边上最大值和最小值的差最大的矩形个数。

我们只关心最大值、最小值和其他。容斥一下，现在只需要考虑边上全 \(0\) 矩阵数量。

考虑分治。我们考虑沿较宽的一边的中间分开来分治，然后考虑跨越分治中心的合法矩形个数。对于分治中心两点 \(u,v\)，只需要求出左右的形如 C 和 Ɔ 的结构个数。

对于分治中心上一点 \(u\)，我们求出它到左边第一个 \(1\) 的位置 \(h_u\)，和边上的每一个点下边第一个 \(1\) 的位置 \(d_{u,j}\)，对其开一个桶，做前缀和，我们就可以得到边上能到达第 \(v\) 行的点的个数。

那么我们就能知道 \(h_u\ge h_v\) 时 \(u,v\) 间合法竖边个数；相应的，我们同样找出每一个点上边第一个 \(1\) 的位置 \(u_{u,j}\)，同理进行统计，那么我们也能知道 \(h_u<h_v\) 时 \(u,v\) 间合法竖边个数。

[AGC066A] Adjacent Difference

tag：构造、Ad-hoc

题意：给定一个矩阵，你可以对每个数 \(\pm1\)，构造一个方案使相邻两数之差不少于 \(d\)，操作次数不多于 \(\frac{n^2}{2}d\)。

我们削弱条件，考察 \(d=1\) 时的情形。发现可以对棋盘黑白染色，黑色部分改为奇数，白色部分改为偶数，或者黑色部分改为偶数，白色部分改为奇数。因为这两种方案更改次数之和为 \(n^2\)，由平均值原理，必有其中一种方案更改次数不多于 \(\frac{n^2}{2}\)。

容易发现，我们在 \(\bmod 2d\) 意义下，将 \(d\) 看为奇数，\(0\) 看为偶数即可解决 \(d\in N^{+}\) 的情形。

[CF1172D] Nauuo and Portals

tag：构造、Ad-hoc

题意：构造若干个传送门，使得从第 \(i\) 行左侧出发的人到达第 \(r_i\) 行，第 \(i\) 列上侧出发的人到达第 \(c_i\) 列。\(r_i\)，\(c_i\) 均为排列。

我们考虑将 \(n\times n\) 的问题处理后转化为一个 \((n-1)\times (n-1)\) 的子问题。

考虑构造传送门 \((p,1), (1,n)\) 和 \((1,q), (n,1)\)。那么第 \(p\) 行、第 \(q\) 列出发的人可以到达该到的位置。原来在第一行的人将会到第 \(n\) 行，第 \(n\) 行的人将会到第 \(p\) 行，第一列的人将会到第 \(n\) 列，第 \(n\) 列的人将会到第 \(q\) 列。

这样，我们让最终到第一行、第一列的人满足了条件，并且剩余的限制依旧是一个排列。继续向下处理即可。

[NOI2023] 贸易

tag：Ad-hoc

题意：给你一个满二叉树，和 \(m\) 个前向边，边有边权，问你两两点之间最短路之和。

对于两个点 \(u,v\)，因为没有横叉边，于是 \(u\) 到 \(v\) 的最短路可以看成两部分 \(u \rightarrow lca(u,v) \rightarrow v\)。

对于前半部分，如果走了第二类边，那么肯定出现了环，必定不优。因此前半部分必走树边。

对于后半部分，定义 \(f_{u,i}\) 表示从点 \(u\) 的满足 \(dep_v=i\) 的祖先 \(v\) 到 \(u\) 的最短路。

首先考虑仅经过一条第二类边的情形。对于一条 \(u\rightarrow v\) 的第二类边，它可以更新所有祖孙关系形如 \(u\rightarrow x\rightarrow y\rightarrow v\) 的 \(f_{y,dep_x}\)。

再拓展到所有情形，发现这一过程与 Floyd 类似。从而枚举中转点同时注意使用恰当的枚举顺序即可。

[CCPC 2023 北京市赛] 线段树

tag：线段树、观察性质

题意：你有一个全为奇数的数列，你需要维护区间加偶数、区间求积，对 \(2^20\) 取模。

因为数列在任意时刻均为奇数，不妨设 \(b_i=2a_i+1\)。

那么区间求积就变成了求少于 \(20\) 个数的积之和。

维护 \(f_i\) 表示区间任意 \(i\) 个数的积之和即可。

[ABC107D] Median of Medians

tag：二分

题意：给你一个数列，定义中位数是第 \(\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+1\) 小的数。设 \(m_{l,r}\) 为 \(l\) 到 \(r\) 的中位数。让你求 \(m\) 的中位数。

发现 \(m_{i,j}\) 的取值仅仅与一维数列有关之类的性质，可以尝试二分。也就是要求 \(m_{l,r}\ge x\) 的 \((l,r)\) 对数。

发掘中位数 \(\ge x\) 的性质。这等价于设 \(b_i=\left\{\begin{aligned}b_i=1(a_i\ge x) \\ b_i=-1(a_i<x)\end{aligned}\right.\)，\(\sum\limits_{i=l}^{r}b_i\ge 0\)。

枚举 \(l\)，每次在数状数组上查不小于 \(0\) 的 \(r\) 的个数，\(l\) 向右移即全局 \(\pm 1\)。

[Ynoi] 我是仙人掌

tag：bitset

题意：给你一个无向图，每次询问给出若干个点对 \((x_i,y_i)\)，求满足任意一个 \(\operatorname{dis}(x_i,u)\le y_i\) 的点 \(u\) 的个数。

设 \(f_{u,i}\) 表示满足 \(\operatorname{dis}(u,v)\le i\) 的点 \(v\) 组成的集合。然后这东西随便求一求就可以了。然后查询就是或起来。

主要是有时候会忘记有 bitset 这个东西，之后需要注意一下。

[ARC059C] キャンディーとN人の子供

tag：DP

题意：晦涩难懂。

叽里咕噜说什么呢。其实就是让你求 \(\sum\limits_{x_1=a_1}^{b_1}\sum\limits_{x_2=a_2}^{b_2}\dots\sum\limits_{x_n=a_n}^{b_n}\prod\limits_{i=1}^{n}x_i^{c_i}\)。因式分解一下，就是让你求 \(\prod\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{x=a_i}^{b_i}x^{c_i}\)。

设 \(dp_{i,j}\) 表示给前 \(i\) 个小朋友发了 \(j\) 颗糖的答案。则可得转移 \(dp_{i,j}=\sum\limits_{k=0}^{j}(f_{i-1,j-k}\sum\limits_{x=a_i}^{b_i}x^k)\)。其中 \(\sum\limits_{x=l}^{r}x^{c_i}\) 预处理即可。

[ARC052C] 高橋くんと不思議な道

tag：图论

[AGC037C] Numbers on a Circle 5.5

tag：时光倒流

题意：有 \(n\) 个正整数首尾相接为 \(a\)，你每次可以将 \(a_i\leftarrow a_{i-1}+a_{i}+a_{i+1}\)，问至少多少次可以变为 \(b\)。

时光倒流一下，就是每次 \(b_{i}\leftarrow b_{i}-b_{i-1}-b_{i+1}\)。然后发现能操作当且仅当 \(b_i\le b_{i-1}+b_{i+1}+1\)。

可以想到每次操作最大的那项是不劣的。用一个堆维护即可。每次值减半，故时间复杂度 \(O(n\log n\log V)\)。

[AGC065B] Erase and Insert 5.5

tag：计数、时光倒流

题意：给你一个排列 \(1, 2, \dots, n\) 和一个目标排列，你进行 \(n\) 次操作，第 \(i\) 次操作将 \(i\) 插入到排列的任意位置。求操作后排列成为目标排列的操作个数。

时光倒流一下，就是从 \(n\) 对排列操作使排列递减。容易发现操作完 \(i\sim n\) 后 \(i\sim n\) 在数列中的位置是递减的。

设 \(dp_{i,j}\) 表示考虑到第 \(i\) 个数，\(i\) 左边有 \(j\) 个数的方案数。很好转移。时间复杂度 \(O(n^2)\)。

[ARC131E] Christmas Wreath 5.7

tag：构造

题意：给你一个 \(n\) 个点的完全图，你需要对边三染色，使得：三种颜色数量相同；不存在两两边异色三角形。

一辈子不会构造。先猜测 \(n\ge 5, n\bmod 3 \not= 2\) 的情况必有解。

考虑怎么保证不存在异色三角形。对于每个 \(i\) 将 \((j,i)(1\le j < i)\) 染为相同颜色。这样三个点中必有一个角是同色的。

那么现在就需要考虑使颜色数相同。也就是把 \(1\sim n-1\) 分成三组，每组数之和相等。

考虑归纳构造。发现 \((n-6)+(n-1)=(n-5)+(n-2)=(n-4)+(n-3)\)，那么就将这些数分为三组，就变为 \(n-6\) 的子问题了。

[AGC036C] GP 2 5.7

tag：计数

题意：给你一初始全 \(0\) 数列，你进行 \(m\) 次操作，每次操作选定 \(i, j\)，\(a_i\leftarrow a_i+1, a_j\leftarrow a_j+2\)，求最后的不同状态个数。

发现这种求不同状态数的问题，可以考虑判定状态是否合法，发掘操作的充要条件，或是考虑容斥。

容易发现操作有如下条件：

• \(\sum a_i=3m\)；
• \(\max a_i\le 2m\)；
• \(\sum a_i\bmod 2\le m\)。

如果去掉条件 \(2\)，我们可以枚举奇数个数。奇数个数为 \(k\) 时如果 \(3m−k\) 是偶数，设其为 \(2p\)，那么考虑将奇数全部减 \(1\)，剩下的 \(n\) 个非负偶数的和就是 \(2p\)，又都是偶数显然等价于 \(n\) 个非负整数的和为 \(p\)，所以合法的方案有 \(\binom{n}{i}\times\binom{n+p-1}{n-1}\) 个，否则为 \(0\)。

现在考虑如何去掉多余的，即有一个 \(a_i\) 超过 \(2m\)。发现至多仅有一个，钦定其为 \(a_1\)。那么将 \(a_1\) 减去 \(2m+1\)，又变成了 \(n\) 个非负整数和为 \(m−1\)，这时条件三就不用考虑了，所以共有 \(n\times\binom{n+m-2}{n-1}\) 种情况。

两种情况相减即可。

[ARC154D] A + B > C ? 5.2

tag：交互、排序

题意：有一个排列，你可以询问 \(O(n\log n)\) 次 \(P_i+P_j\) 与 \(P_k\) 的大小关系，让你求出排列的值。

观察到对任意 \(n>1\)，\(1+1>n\) 不成立。因此你可以在 \(n-1\) 次询问中找到 \(1\) 的位置。由整数的离散性，\(1+a_i>a_j \Leftrightarrow a_i\ge a_j\)，也就是说，你可以直接按照这个关键字对 \(P\) 排序，进而得到这个排列。询问次数是 \(O(n\log n)\) 的。

P5071 [Ynoi Easy Round 2015] 此时此刻的光辉 6.4

tag：莫队、根号分治、想办法

题意：给你一个数列，\(q\) 次询问，每次询问区间因数个数。

假设 \(n,q\) 同阶。发现 \(10^9\) 以内的数只有不超过 \(10\) 个质因子，因此一段区间内的质因子个数是不超过 \(10n\) 个的，于是我们可以质因数分解后，对其离散化用莫队维护桶。

但是这样做的时间复杂度是 \(O(kn\sqrt{n})\) 的，其中 \(k=\max{\omega(n)}\)，无法通过本题。

考虑根号分治，先把不超过 \(B\) 的质因子找出来，然后对其出现次数做前缀和。于是对于每个数最多就只剩下 \(\log_Bn-1\) 个质因子了，对这些质因子离散化后用莫队维护桶即可。

时间复杂度 \(O(Bn+n\sqrt{n}\log_Bn)\)，\(B\) 取 \(1000\) 可以通过此题。

有很多神秘做法。

P13306 [GCJ 2013 Finals] Let Me Tell You a Story 6.2

tag：计数、dp、优化

题意：给你一个数列，每次你可以删除一个元素，当数列变为非递增序列时结束。求所有可能的删除顺序个数。

我们考虑枚举出最后剩下的非增子序列长度 \(k\)，设 \(f_k\) 表示长度为 \(k\) 的非增子序列个数，那么下意识的想法是 \(\sum f_k(n-k)!\)。但是因为你不知道他是否删到一半就结束了，所以这样会算重，那你考虑容斥，减掉重复的贡献，就是在选出序列长度为 \(k+1\) 时的所有情况再随便删掉 \(1\) 个数的所有贡献，也就是 \(f_{k+1}(n-k-1)!(k+1)\)，那么答案就是 \(\sum f_k(n-k)!-f_{k+1}(n-k-1)!(k+1)\)。

问题变成怎么算 \(f\)。考虑 dp，设 \(dp_{i,j}\) 为以 \(i\) 结尾，长度为 \(j\) 的合法子序列个数，那么有 \(dp_{i,j}=\sum dp_{k,j-1}[a_k\ge a_i]\)，发现这个部分是一个二维数点，树状数组维护即可。\(f_i\) 就是 \(\sum dp_{j,i}\)。时间复杂度 \(O(n^2\log n)\)。

P14636 [NOIP2025] 清仓甩卖 6.6

tag：计数、双指针

题意：现在有 \(n\) 个物品有原价 \(a_i\)，现价 \(w_t\in \{1,2\}\)，你有 \(m\) 元钱。有策略：按性价比从大到小排序贪心买物品。求对于 \(2^n\) 种定价，有多少种策略可以使买到的物品原价之和最大。

计数的时候要考虑找合法策略的等价条件。

你考虑什么时候这个策略会炸。策略错误当且仅当你买了一个 \(w_t=1\) 的物品，然后到后面买到一个 \(w_t=2\) 的时候只剩 \(1\) 块钱，从而买了性价比更低的 \(w_t=1\) 的物品，形如 \(\dots x\dots (y)z\)。

我们考虑枚举 \(x, y\)，\(w_x=1, w_y=2\)，那么首先需要有 \(a_x<a_y<2a_x\)。

先对 \(a_i\) 排序，我们考虑其他物品（记为 \(a_t\)）被选择出来的条件。

• 若 \(x<t<y\)，
  • 若 \(w_t=1\) 会不满足枚举条件。此时 \(\frac{a_y}{2}<a_t<a_x\)，不能取，不能买。
  • 若 \(w_t=2\)，此时 \(a_y<a_t<2a_x\)，可以取，可以买。
• 若 \(t<x\)，
  • 若 \(w_t=1\)，此时 \(a_t>a_x\)，可以取，可以买。
  • 若 \(w_t=2\)，此时 \(a_t>a_y\)，可以取，可以买。
• 若 \(t>y\)，
  • 若 \(w_t=1\)，这可能是 \(z\)，先不去管它。
  • 若 \(w_t=2\)，此时 \(a_t<a_y\)，可以取，不能买。

整理一下：

• \(a_t>a_y\)，有 \(n-y\) 个，\(w_t\) 是多少都可以随便买，消耗 \(1\) 或 \(2\) 块。
• \(a_x<a_t<a_y\)，有 \(y-x-1\) 个，\(w_t=1\) 时可以买，\(w_t=2\) 时你不能买，消耗 \(0\) 或 \(1\) 块。
• \(\frac{a_y}{2}<a_t<a_x\)，你需要让 \(w_t=2\)，然后不能买。

选完这些之后，你最后需要只剩下 \(2\) 块钱来买 \(x,z\)。也就是说，这些东西花费了 \(m-2\) 块钱。

先对所有 \(a_t>a_y\) 的 \(t\) 付 \(1\) 块钱，也就是说，你现在要在 \(n-x-1\) 个物品中选 \(m-2-(n-y)\) 个物品付 \(1\) 块钱。即 \(\binom{n-x-1}{m-2-(n-y)}\)。那 \(a_t>a_x\) 的部分就搞完了。

对于 \(a_t<a_x\) 的部分，我们需要让 \(a_t+a_x\ge a_y\) 的 \(t\) 都不成为 \(z\)，剩余的随便选即可。那就用双指针找到最大的 \(t\) 使 \(a_t+a_x<a_y\)，方案数为 \(2^t\)。

P2757 [国家集训队] 等差子序列 6.0

tag：哈希

题意：给你一个排列，问是否存在等差子序列。

枚举 \(a_i\)，用一个桶来标记数有没有出现过。那么如果存在 \(d\) 满足 \(t_{a_i-d}\not=t_{a_i+d}\)，那么说明 \(a_i-d\) 和 \(a_i+d\) 是在 \(a_i\) 的两侧出现的，于是就存在等差子序列了。

那么你只需要判断以 \(a_i\) 为中心的桶是否回文即可。线段树维护哈希值即可。

板刷 agc 绿

比较唐的题不写题解。

[AGC001C] Shorten Diameter

tag：贪心、树的直径

题意：给你一棵树，最小化删掉叶子的个数，使直径 \(\le k\)。

我们可以每次找出一条直径，然后分别算一下这条直径的两个端点能到达的距离 \(>k\) 的点的个数，将个数较大的那个端点删去。然后继续找直径做这样的操作即可，直到直径长度 \(\le k\)。这个贪心是好证的。

[AGC003C] BBuBBBlesort!

tag：贪心

题意：给你一个序列，你可以交换相邻、隔一个格的两个元素，最小化交换相邻次数，使序列有序。

我们发现可以贪无数次操作二，那么肯定能用操作二就用。但是发现奇数位的元素一直在奇数位，偶数位的元素一直在偶数位。这时候发现操作一可以消掉奇偶不匹配的情况。那么答案就是 \(\frac{\sum [|i-a_i|为奇]}{2}\)。

[AGC004B] Colorful Slimes

tag：dp

题意：你可以插入元素 \(i\)，全局模意义 \(+1\)，每个不同操作均有一定代价，求得到所有元素的最小代价。

设 \(dp_{i,j}\) 表示使用 \(j\) 次魔法得到第 \(i\) 只史莱姆的最小代价。\(dp_{i,j}=\min(dp_{i,j-1},a_{i-j})\)。答案即 \(\min\{kx+\sum dp_{i,k}\}\)。

[AGC008B] Contiguous Repainting

tag：前缀和

题意：你有一个序列，初始全不选，每次可以选/不选相邻 \(k\) 个数，最大化选的数的总和。

这么弱智的题想这么久。考虑找到最后一次操作，这部分要么全不选，要么全选，剩下的部分发现可以通过操作选出所有的正数。于是就做完了。

[AGC015C] Nuske vs Phantom Thnook

tag：树、前缀和

题意：给你一个01矩阵，1组成的所有连通块都是一颗树。每次询问查询子矩阵1的连通块个数。

发现树有一个性质 \(n-m=1\)。那么这是个森林，树的个数，也即连通块个数，就是所有点的个数减去连边个数。前缀和一下就做完了。

[AGC021D] Reversed LCS

tag：猜、区间dp

题意：给你一个字符串 \(S\)，你可以修改其中 \(k\) 个字符。最大化 \(\operatorname{lcs}(S,\operatorname{rev}(S))\)。

很好猜出结论：\(\operatorname{lcs}(S,\operatorname{rev}(S))=\operatorname{lps}(S)\)。

因为 \(\operatorname{lps}(S)\) 所对应的回文串对称，所以在正串、反串都出现过，得 \(\operatorname{lps}(S)\le \operatorname{lcs}(S,\operatorname{rev}(S))\)。\(\operatorname{lps}\ge\operatorname{lcs}\) 的部分略。

设 \(dp_{l,r,k}\) 表示区间 \([l,r]\) 修改了 \(k\) 个字符的 \(\operatorname{lps}\)。很好转移。

[AGC023B] Find Symmetries

tag：无

题意：给你一个 \(n\times n\) 的矩阵，求 \(a,b\) 的个数，满足：将最下面 \(a\) 行移到最上面，将最右边 \(b\) 列移到最左边，有 \(a_{i,j}=a_{j,i}\)。

有两种想法。

一种是发现 \((a,b) \Leftrightarrow (a+x,b+x)\)，于是只需要枚举 \(a\) 即可。那就 \(O(n^3)\) 判吧，没想到什么优化。

另一种是发现这是一个 \(2n\times 2n\) 矩阵的滑动矩阵。然后矩阵对称满足 \(A^T=A\)，所以你可以尝试二维哈希，判哈希值。\(O(n^2)\)。

[AGC024B] Backfront

tag：找性质

题意：给你一个排列，每次可以选择一项移到开头或结尾，求将排列排好序的最少操作次数。

可以发现性质：对于一段每次递增一个上升的子序列，在排好其他数字的同时，这个子序列也会自动排好。而且你剩下的子序列也肯定要满足这种限制，不然就不合法了。

设 \(l\) 为连续递增 \(1\) 的最长上升子序列的长度，那么答案即为 \(n-l\)。