排列计数dp

依赖邻项或与下标产生关联的问题

通常，连续段 dp 会对三种转移方式分类讨论：将插入的元素作为一个新连续段插入；将元素插入至一个已有连续段的两端；合并两个连续段。

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考虑连续段 dp。设 \(dp_{i,j}\) 为考虑前 \(i\) 台电脑，形成了 \(j\) 个连续段的操作序列数。

考虑转移。

• 作为新的连续段：\(dp_{i,j}\times(j+1)\rightarrow dp_{i+1,j+1}\)。
• 合并两个连续段：我们可以在两个连续段中插入两个电脑并打开其中一个，也可以在两个连续段中插入三个电脑并打开中间那个电脑。即 \(dp_{i,j}\times 2(j-1)\rightarrow dp_{i+2,j-1}\)，\(dp_{i,j}\times (j-1)\rightarrow dp_{i+3,j-1}\)。
• 放在连续段两端：我们可以在紧挨着连续段插入一个电脑并打开，也可以在连续段插入两个电脑并打开相隔 \(1\) 格的电脑。即 \(dp_{i,j}\times2j\rightarrow dp_{i+1,j}\)，\(dp_{i,j}\times2j\rightarrow dp_{i+2,j}\)。

需要判断边界情况。答案即 \(dp_{n,1}\)。

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题意可以转化为，求排列 \(P\) 的个数，使得对于 \(\forall i\in [1,n]\)，与 \(i\) 相邻的元素均大于或小于 \(P_i\)，\(P_1=s\)，\(P_n=t\)。发现这个条件依赖邻项，可以考虑连续段 dp。

设 \(dp_{i,j}\) 为考虑到前 \(i\) 位，形成了 \(j\) 个连续段的合法排列数。

考虑转移。

• 作为新的连续段：\(dp_{i,j}\times(j+1-[j>t]-[j>s])\rightarrow dp_{i+1,j+1}\)。
• 合并两个连续段：\(dp_{i,j}\times(j-1)\rightarrow dp_{i+1,j-1}\)。
• 放在连续段两端：只能放在开头或结尾的位置。但是开头、结尾的位置的元素已经被钦定了，所以不会出现这种情况。

答案即 \(dp_{n,1}\)。

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Hint：考虑对于一种磁铁的排列顺序 \(P\)，我们求出将所有磁铁尽可能紧凑地放置后的覆盖区间长度 \(\operatorname{len}(P)\)，则剩余 \(l-\operatorname{len}(P)\) 个空位可以随意放置，有 \(\binom{n+l-\operatorname{len}(P)}{n}\) 种放法。考虑求出 \(\operatorname{len}(P)=x\) 的排列个数 \(g(x)\)，答案即为 \(\sum\binom{n+l-i}{n}g(i)\)。

考虑两个相邻的磁铁 \(i, j\)，若 \(r_i > r_j\)，则只需考虑 \(r_i\) 的限制。因此我们按 \(r_i\) 从小到大的顺序插入。显然当前覆盖的区间 \(l\) 是我们必须维护的状态。当我们在两端插入磁铁时，可以直接 \(l \leftarrow l+r_i\)。但当我们在两个磁铁 \(x,y\) 中间插入磁铁时，我们的 \(l\leftarrow l+2r_i-\max(r_x,r_y)\)。我们需要用到相邻的已插入元素的具体信息，于是考虑连续段 dp。

设 \(dp_{i,j,k}\) 表示考虑前 \(i\) 小的磁铁，形成了 \(j\) 个连续段，当前覆盖区间为 \(k\) 的磁铁排列数。

考虑转移。

• 作为新的连续段：\(dp_{i,j,k}\times(j+1)\rightarrow dp_{i+1,j+1,k+r_{i+1}}\)。
• 合并两个连续段：\(dp_{i,j,k}\times(j-1)\rightarrow dp_{i+1,j-1,k+2r_{i+1}-1}\)。
• 放在连续段两端：\(dp_{i,j,k}\times2j\rightarrow dp_{i+1,j,k+r_{i+1}}\)。

\(g(x)\) 即 \(dp_{n,1,x}\)。

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咕了。

延后决策

一些信息对于当前局面不产生影响，但是会对之后决策形成的局面产生影响。这个时候利用技巧记录这些可能产生影响的信息即为延后决策。

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Hint：有一个经典 trick。注意到 \(|i-p_i|=max(i,p_i)-min(i,p_i)\)，我们将 \(\{1,2,\dots,n\}\) 看成红色小球，\(\{p_1,p_2,\dots,p_n\}=\{1,2,\dots,n\}\) 看成蓝色小球。将它们按照值从小到大排序，即将红蓝小球配对，价值为排在后面的小球的值减去排在前面的小球的值，求有多少种配对方式，使得这 \(n\) 个红蓝小球对的价值和为 \(k\)。

定义 \(dp_{i,x,y,s}\) 表示考虑完前 \(i\) 个球，有 \(x\) 个红色小球和 \(i\) 后面的蓝色小球配对，有 \(y\) 个蓝色小球和 \(i\) 后面的红色小球配对，且当前价值和为 \(s\) 的方案数。

考虑转移。

• 这个是红色小球。
  • 匹配了之前的蓝色小球，\(dp_{i,x,y,s}\rightarrow dp_{i+1,x,y-1,s+v_i}\)。
  • 匹配了之后的蓝色小球，\(dp_{i,x,y,s}\rightarrow dp_{i+1,x+1,y,s-v_i}\)。
• 这个是蓝色小球。
  • 匹配了之前的红色小球，\(dp_{i,x,y,s}\rightarrow dp_{i+1,x-1,y,s+v_i}\)。
  • 匹配了之后的红色小球，\(dp_{i,x,y,s}\rightarrow dp_{i+1,x,y+1,s-v_i}\)。

其中 \(v_i\) 表示当前球的值。答案即 \(dp_{n,0,0,k}\)。时间复杂度 \(O(n^3k)\)，已经可以通过。

考虑优化。设 \(cnt_{i,0/1}\) 表示前 \(i\) 个数中红、蓝小球的个数。那么已经匹配的小球对数即 \(cnt_{i,0}-x\)。所以还没有被匹配的蓝色小球个数即为 \(cnt_{i,1}-cnt_{i,0}+x\)。于是就可以压掉一维。

时间复杂度 \(O(n^2k)\)。

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求 \(\sum\limits_{\pi}\prod\limits_{i=1}^{n}min(A_i,B_{\pi_i})\)。

经典小球题。将 \(A, B\) 放在一起排序，把 \(A\) 看成红色小球，\(B\) 看成蓝色小球，进行配对。

设 \(dp_{i,j}\) 表示考虑完前 \(i\) 个球，\(A\) 中有 \(j\) 个需要向后匹配。这是容易转移的。

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其实是为了这口醋包了一整盘饺子。

题意可以转化为，对于一个排列 \(p\)，我们定义 \(f(p)\)：

1. 最开始 \(w=0\)；
2. 如果 \(s_i=0\)，则 \(w\leftarrow w+1\)；
3. 如果 \(s_i=1\)，\(c_i\le w\)，则 \(w\leftarrow w+1\)；
4. 否则 \(w\) 不变。

\(f(p)\) 即为 \(n-w\)。求排列 \(p\) 的个数，使得 \(f(p)\le m\)。

其他排列计数问题

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这是一个小根堆。容易发现发现一个点的左右子树中的大小关系是独立的。

我们设 \(dp_i\) 是以 \(i\) 为根的子树内合法排列数。根节点一定选择最小值。考虑剩余 \(sz_i-1\) 个点，我们要划分 \(sz_l\) 个点到左子树，\(sz_r\) 个点到右子树。即 \(dp_i=dp_l\times dp_r\times \binom{sz_i-1}{sz_l}\)。

答案即为 \(dp_1\)。

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插入法。

设 \(dp_{i,j}\) 表示在前 \(i\) 位填入 \(1\sim i\)，最后一位是 \(j\) 的合法排列数。

考虑转移。假设我们要在第 \(i+1\) 位放入 \(j\)，我们将 \(1\sim i\) 中所有不小于 \(j\) 的数全部加 \(1\)，这样就可以保证我们填入的是一个排列。

转移方程即

\[dp_{i,j}= \begin{cases} \sum\limits_{k=1}^{j-1}dp_{i-1,k}&S_i \texttt{ 为 <}\\\\ \sum\limits_{k=j}^{i-1}dp_{i-1,k}&S_i \texttt{ 为 >} \end{cases} \]

前缀和优化即可。答案即 \(\sum dp_{n,i}\)。

AT_abc282_g Similar Permutation

上一道题的加强版。

设 \(dp_{i,l,j,k}\) 表示在前 \(i\) 位填入 \(1\sim i\)，\(A_i=j\)，\(B_i=k\)，相似度为 \(l\) 的合法排列数。

这样就可以很好的转移了。分别讨论 \(A_i\)、\(A_{i+1}\) 和 \(B_i\)、\(B_{i+1}\) 的相对顺序即可。

二维前缀和即可。答案即 \(\sum\limits_i\sum\limits_j dp_{n,k,i,j}\)。