浅谈狄利克雷生成函数

初一的时候写的东西，今天翻出来了。可能很糖。

而且没写完。

约定

• \(\sum\limits_{i}\) 默认指 \(i \geqslant 1\)。

• \(1(n)=1\)。

• \(\varepsilon(n)=[n=1]\)，即单位元。

• \(id_k(n)=n^k\)。特别地，\(id(n)=id_1(n)\)。

• \(\mathbb{P}\) 为质数集。

定义

狄利克雷生成函数

对于数论函数 \(f\)，定义其狄利克雷生成函数为

\[\sum_i \frac{f(i)}{i^x} \]

我们简记为 \(\hat{f}(x)\)。

狄利克雷卷积

对于数论函数 \(f\)，\(g\)，其狄利克雷生成函数之积为两者的狄利克雷卷积的狄利克雷生成函数，即

\[\begin{aligned} \hat{f}(x)\cdot \hat{g}(x) &= \left(\sum_i\frac{f(i)}{i^x}\right)\left(\sum_i\frac{g(i)}{i^x}\right) \\ &= \sum_i\sum_j\frac{f(i)g(j)}{i^xj^x} \\ &= \sum_i\frac{1}{i^x}\sum_{d \mid i} f(d)g(\frac{i}{d}) \\ &= \sum_i\frac{h(i)}{i^x} \\ &= \hat{h}(x) \end{aligned} \]

其中 \(h(n)=\sum\limits_{d \mid n}f(d)g(\frac{n}{d})\)，即 \(h=f*g\)。

性质

积性函数

如果数论函数 \(f\) 为积性函数，则其狄利克雷生成函数可以表示为

\[\hat{f}(s)=\sum_n\frac{f(n)}{n^s}=\sum_{n}\prod_{p\in\mathbb{P}}\frac{f(p^t)}{p^{st}}=\prod_{p\in\mathbb{P}}\sum_{t\geqslant0}\frac{f(p^t)}{p^{st}} \]

一些例子

对于复数 \(s\)，定义黎曼 \(\zeta\) 函数为

\[\zeta(s)=\sum_n\frac{1}{n^s}=\sum_n\frac{1(n)}{n^s}=\hat{1}(s) \]

对于狄利克雷环的幺元 \(\varepsilon\)，其狄利克雷生成函数为

\[\hat{\varepsilon}(s)=\sum_n\frac{\varepsilon(n)}{n^s}=1=1(n) \]

对于莫比乌斯函数 \(\mu\)，由于 \(\mu*1=\varepsilon\)，因此其狄利克雷生成函数为

\[\hat{\mu}(s)=\frac{\hat{\varepsilon}(s)}{\hat{1}(s)}=\frac{1}{\zeta(s)} \]

对于幂函数 \(id_k\)，其狄利克雷生成函数为

\[\widehat{id_k}(s)=\sum_n\frac{n^k}{n^s}=\sum_n\frac{1}{n^{s-k}}=\zeta(s-k) \]

对于欧拉函数 \(\varphi\)，因为 \(\varphi * 1=id\)，因此其狄利克雷生成函数为

\[\widehat{\varphi}(s)=\frac{\hat{id}(s)}{\hat{1}(s)}=\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)} \]

对于约数幂函数 \(\sigma_k\)，其狄利克雷生成函数为

\[\widehat{\sigma_k}(s)=\hat{1}(s)\cdot\widehat{id_k}(s)=\zeta(s)\zeta(s-k) \]

对于无平方因子数（\(|\mu(s)|\)），其狄利克雷生成函数为

\[\widehat{u}(s)=\prod_{p\in\mathbb{P}} \left(1+\frac{1}{p}+\frac{0}{p^2}+\dots\right)=\frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)} \]

欧拉函数逆元

其实我当时是在想这个才写的这篇文章。

我们需要构造一个函数 \(\varphi^{-1}\) 使得 \(\varphi^{-1}*\varphi=\varepsilon\)。

直接造显然有点困难，考虑它的狄利克雷生成函数，即

\[\widehat{\varphi^{-1}}(s)=\frac{\hat{\varepsilon}(s)}{\hat{\varphi}(s)}=\frac{\zeta(s)}{\zeta(s-1)} \]

容易发现分子部分即 \(\hat{1}\)，分母部分即 \(\hat{\mu}(s-1)\)。考虑

\[\hat{\mu}(s-1)=\sum_n\frac{\mu(n)}{n^{s-1}}=\sum_n\frac{n\cdot\mu(n)}{n^s}=\widehat{id\cdot\mu}(s) \]

则 \(\varphi^{-1}=1*(id\cdot\mu)\)。也即

\[\varphi^{-1}(n)=\sum_{d\mid n}d\mu(d) \]