洛谷P2566[SCOI2009]围豆豆

题目描述：

Input第一行两个整数N和M，为矩阵的边长。 第二行一个整数D，为豆子的总个数。 第三行包含D个整数V1到VD，分别为每颗豆子的分值。 接着N行有一个N×M的字符矩阵来描述游戏矩阵状态，0表示空格，#表示障碍物。而数字1到9分别表示对应编号的豆子。

Output仅包含一个整数，为最高可能获得的分值。

Sample Input

3 8 3

30 -100 30

00000000

010203#0

00000000

Sample Output

38

数据范围：

50%的数据满足1≤D≤3。
100%的数据满足1≤D≤9，1≤N, M≤10，-10000≤Vi≤10000。

思路分析：

　　我们一看到这么小的数据应该能想到要用DP，关键是怎么DP；

我们先说一下如何判断一个豆豆被围住，这需要用到“射线法”；

我们可以举几个例子来说，如上图所示（画得这么丑不要介意）我们发现，当从‘豆豆’向右延伸出一条直线时，如果与我们的路径有奇数个交点，那么豆豆将在路径所围成的圈内，否则在圈外，但还有一种特殊情况需要考虑：

 

 

 向右的直线和我们的路径有交时，会出现有偶数个交点（如图中）而在路径内的情况（我们计算交点数的方式是往下走时若过豆豆的纵坐标则记一次，所以中间横在紫线上的点不算，上图只有一左一右两个交点）

解决了判断的问题，我们便可以思考如何DP了

大致思路是，考虑Spfa的做法，从一个点出发，遍历所有与他相连的点，若合法则压入队内，一个点只走一次，知道队列为空，统计答案即可。如何找到与已知点相邻的点的坐标呢，我们在学栈时曾做过一道叫做细胞个数的题，我们可以从那里得到启发，即开两个数组，分别为

f1[4]={1,-1,0,0}，f2[4]={0,0,1,-1}，之后让已知点的坐标加上对应的值即可修改其位置。若i<2(即已知点上下移动),统计一下是否有点向右的直线与它有奇数个交点,有的话则在原来已知点的基础上加上这个豆豆的权值;我们用dp第一位和第二位表示点的坐标,第三位表示状态,如果一个点的一个状态合法(即vis为true,遍历过)则拿他和当前最大答案比较,最后输出最大答案。其他细节详见注释。

附上代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<map>
using namespace std;
struct Node2{  //开一个结构体方便用队列存储 
    int x,y,dis;
    Node2(int a,int b,int c){
        x=a;y=b;dis=c;
    }
};
int vis[11][11][1050],a[11][11],val[11];  
int n,m,cnt;
int dp[11][11][1050],x0[11],y0[11],ans=0;
//vis表示当前点当前状态是否计算过,val记录每个豆豆的权值,
//x0,y0分别存储豆豆的横,纵坐标,温馨提示:千万不要定义y1
//a数组记录棋盘,dp[i][j][k]记录坐标为(i,j)的点状态为k时权值. 
int f1[4]={1,-1,0,0}; //用于已知点的移动 
int f2[4]={0,0,1,-1};
void Spfa(int x,int y){
    memset(vis,0,sizeof(vis));  //需要跑多次,记得初始化 
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[x][y][0]=0;
    queue<Node2>q;
    q.push(Node2(x,y,0));
    int tx,ty,tz,tdp,cross;
    //tx,ty,tz表示新点的横,纵坐标及状态
    //tdp表示当前状态权值,cross表示豆豆横坐标 
    while(!q.empty()){
        Node2 t=q.front();q.pop();
        for(int i=0;i<4;++i){
            tx=t.x+f1[i];ty=t.y+f2[i];
            if(tx<=0||ty<=0||tx>n||ty>m||a[tx][ty]!=0) //判断合法 
                continue;
            tz=t.dis;tdp=dp[t.x][t.y][t.dis]-1;//由于又走了一步,分数要减一 
            if(i<2){  //判断是否加分 
                cross=min(tx,t.x);
                for(int j=1;j<=cnt;++j){
                    if(x0[j]!=cross||y0[j]>ty) //和豆豆的向右只限无交点 
                        continue;
                    if(tz & (1<<(j-1))) tdp-=val[j]; //如果原来加过,再过一次时偶数变奇数,要减去 
                    else tdp+=val[j];    //反之加上 
                    tz=tz^(1<<(j-1));   //经过次数加一次 
                }
            }
            if(!vis[tx][ty][tz]){ //入队,准备下一次循环 
                dp[tx][ty][tz]=tdp;
                q.push(Node2(tx,ty,tz));
                vis[tx][ty][tz]=1;
            }
         }    
    }
    for(int i=0;i<(1<<cnt);++i)  //统计当前点所有状态的答案 
        if(vis[x][y][i])
            ans=max(ans,dp[x][y][i]);
}
int main(){
    //freopen("a.txt","r",stdin);
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&cnt);
    for(int i=1;i<=cnt;++i)
        scanf("%d",&val[i]);
    for(int i=1;i<=n;++i)
    for(int j=1;j<=m;++j){
        char c=' ';
        while(c==' '||c=='\n')
            scanf(" %c",&c);
        if(c=='#') a[i][j]=-1; //构建棋盘 
        if(c>='0'&&c<='9'){
            x0[c-'0']=i;y0[c-'0']=j; //存储豆豆 
            a[i][j]=c-'0';
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)
    for(int j=1;j<=m;++j){
        if(a[i][j]==0)
            Spfa(i,j);//从每个点出发跑一遍 
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}