二元关系

定义7.1 由两个元素 x 和 y，按照一定的顺序组成的二元组称为有序对，记作<x,y>.

有序对性质:

(1) 有序性 <x,y><y,x> （当xy时）

(2) <x,y>与<u,v>相等的充分必要条件是

<x,y>=<u,v> x=uy=v.

定义7.2 设A,B为集合，A与B的笛卡儿积记作AB，且

AB = {<x,y>| xAyB}.

笛卡儿积性质：

(1) 不适合交换律

AB BA (AB, A, B)

(2) 不适合结合律

(AB)C A(BC) (A, B, C)

(3) 对于并或交运算满足分配律

A(BC) = (AB)(AC) (BC)A = (BA)(CA)

A(BC) = (AB)(AC) (BC)A = (BA)(CA)

(4) 若 A 或 B 中有一个为空集，则 AB 就是空集.

A = B = 

(5) 若 |A| = m, |B| = n, 则 |AB| = mn

例题：

AC = BD是否推出 A=B,C=D? 为什么？

不一定.反例如下：

A={1}，B={2}, C = D = , 则AC = BD但是A B.

定义7.3 如果一个集合满足以下条件之一：

(1) 集合非空, 且它的元素都是有序对

(2) 集合是空集

则称该集合为一个二元关系, 简称为关系，记作R.

 

定义7.4

设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系, 当A=B时则叫做A上的二元关系.

定义7.5 设 A 为集合,

(1) 是A上的关系，称为空关系

(2) 全域关系 EA = {<x,y>| x∈A∧y∈A} = A×A

恒等关系 IA = {<x,x>| x∈A}

小于等于关系 LA = {<x,y>| x,y∈A∧x≤y}, A为实数子集

整除关系 DB = {<x,y>| x,y∈B∧x整除y}, A为非0整数子集

包含关系 R = {<x,y>| x,y∈A∧xy}, A是集合族.

关系的表示

1. 关系矩阵

若A={x1, x2, …, xm}，B={y1, y2, …, yn}，R是从A到B的

关系，R的关系矩阵是布尔矩阵MR = [ rij ] mn, 其中

rij = 1 < xi, yj> R.

2. 关系图

若A= {x1, x2, …, xm}，R是从A上的关系，R的关系图是GR=<A, R>, 其中A为结点集，R为边集. 如果<xi,xj>属于关系R，在图中就有一条从 xi 到 xj 的有向边.

注意：

关系矩阵适合表示从A到B的关系或A上的关系（A,B为有穷集）

关系图适合表示有穷集A上的关系

关系的基本运算

定义7.6 关系的定义域、值域与域分别定义为

domR = { x | y (<x,y>R) }

ranR = { y | x (<x,y>R) }

fldR = domR  ranR

定义7.7 关系的逆运算

R1 = { <y, x> | <x, y>R }

定义7.8 关系的合成运算

RS = { <x, z> | y (<x, y>R  <y, z>S) }

定义7.9 设R为二元关系, A是集合

(1) R在A上的限制记作 R↾A, 其中

 R↾A = { <x,y> | xRy∧x∈A }

(2) A在R下的像记作R[A], 其中

 R[A]=ran(R↾A)

说明：

R在A上的限制 R↾A是 R 的子关系，即 R↾A R

A在R下的像 R[A] 是 ranR 的子集，即 R[A] ranR

R↾ = 

R[] = 

定理7.1 设F是任意的关系, 则

(1) (F1)1=F

(2) domF1= ranF, ranF1= domF

定理7.2 设F, G, H是任意的关系, 则

(1) (FG)H = F(GH)

(2) (FG)1 = G1F1

定理7.3 设R为A上的关系, 则

  RIA= IAR=R

定理7.4

(1) F(GH) = FG∪FH (2) (G∪H)F = GF∪HF

(3) F(G∩H) FG∩FH (4) (G∩H)F GF∩HF

只证 (3) 任取<x,y>,

 <x,y>∈F(G∩H)

t (<x,t>∈F∧<t,y>∈G∩H)

 t (<x,t>∈F∧<t,y>∈G∧<t,y>∈H)

 t ((<x,t>∈F∧<t,y>∈G)∧(<x,t>∈F∧<t,y>∈H))

 t (<x,t>∈F∧<t,y>∈G)∧t (<x,t>∈F∧<t,y>∈H)

 <x,y>∈FG∧<x,y>∈FH

 <x,y>∈FG∩FH

所以有 F(G∩H) FG∩FH

定理7.4 的结论可以推广到有限多个关系

R(R1∪R2∪…∪Rn) = RR1∪RR2∪…∪RRn

(R1∪R2∪…∪Rn)R = R1R∪R2R∪…∪RnR

R(R1∩R2∩ … ∩Rn) RR1∩RR2∩ … ∩RRn

(R1∩R2∩ … ∩Rn)R R1R∩R2R∩ … ∩RnR

定理7.5 设F 为关系, A, B为集合, 则

(1) F ↾(A∪B) = F ↾A∪F ↾B

(2) F [A∪B] = F [A]∪F [B]

(3) F ↾(A∩B) = F ↾A∩F ↾B

(4) F [A∩B] F [A]∩F [B]

定义7.10

设 R 为 A 上的关系, n为自然数, 则 R 的 n 次幂定义为：

(1) R0 = { <x,x> | x∈A } = IA

(2) Rn+1 = RnR

注意：

对于A上的任何关系 R1 和 R2 都有 R10 = R20 = IA

对于A上的任何关系 R 都有 R1 = R

如何计算R的n次幂呢（n≧2）？

1、关系矩阵的布尔乘法

与线性代数中的矩阵乘法公式相比，只要把矩阵乘法公式中的数乘改为合取，把数加改为析取，就得到了关系矩阵的布尔乘法公式。

2、关系图

几次幂就是走几步能不能到。

定理7.6 设 A 为 n 元集, R 是A上的关系, 则存在自然数 s 和 t, 使得 Rs = Rt.

证 R 为A上的关系,

 

列出 R 的各次幂

 

必存在自然数 s 和 t 使得 Rs = Rt

定理7.7 设 R 是 A上的关系, m, n∈N, 则 【归纳法】

(1) RmRn = Rm+n

(2) (Rm)n = Rmn

定理7.8 设R 是A上的关系,

若存在自然数 s, t (s<t) 使得 Rs=Rt, 则

(1) 对任何 k∈N有 Rs+k = Rt+k

(2) 对任何 k, i∈N有 Rs+kp+i = Rs+i, 其中 p = ts【归纳法】

(3) 令S = {R0,R1,…,Rt1}, 则对于任意的 q∈N 有Rq∈S

定义7.11 设 R 为A上的关系,

(1) 若 x(x∈A→<x,x>R), 则称 R 在 A 上是自反的.

(2) 若 x(x∈A→<x,x>R), 则称 R 在 A 上是反自反的.

定义7.12 设 R 为 A上的关系,

(1) 若xy( x,y∈A∧<x,y>∈R→<y,x>∈R), 则称 R 为 A上对称的关系.

(2) 若xy( x,y∈A∧<x,y>∈R∧<y,x>∈R→x=y), 则称 R 为A上的反对称关系.

定义7.13 设R为A上的关系, 若

xyz(x,y,z∈A∧<x,y>∈R∧<y,z>∈R→<x,z>∈R),则称 R 是A上的传递关系.

定理7.9 设R为A上的关系, 则

(1) R 在A上自反当且仅当 IA R

(2) R 在A上反自反当且仅当 R∩IA = 

(3) R 在A上对称当且仅当 R=R1

(4) R 在A上反对称当且仅当 R∩R1 IA

(5) R 在A上传递当且仅当 RR R