CF1268

Codeforces Round #609 (Div. 1)

A

若 \(b\) 取 \(a\) 的前 \(k\) 位后循环得到的数已经 \(\geqslant a\) 了，则其为最优解，否则答案在第 \(k\) 位加 \(1\) 后再循环得到的数。需要注意处理进位。

B

放骨牌为二分图匹配，得答案为黑白染色后黑格子个数和白格子个数取 \(\min\)。

C

考虑先将 \(1 \sim k\) 的数合并到一起，即相互相邻，然后再进行调整，第二步调整的花费即为逆序对数。肯定是所有数合并到中位数的位置是最优的。用树状数组维护每个数的出现位置，在树状数组上二分可求解中位数。

D

当 \(n \geqslant 4\) 时，\(n\) 阶强连通竞赛图存在 \(n-1\) 阶强连通子图，因此翻转不在强连通子图的那个点，能使其仍为强连通图。

根据这条引理，可以推得：当 \(n>6\) 时，可以翻转至多 \(1\) 个点使原图变成强连通图。

考虑证明：

若图中只有两个 \(SCC\)，因为 \(n>6\)，则一定有一个 \(SCC\) 点数 \(\geqslant 4\)，翻转其内一点，使该 \(SCC\) 仍强连通，然后会形成一个大环，因此图就为强连通图了。

若图中至少有三个 \(SCC\)，选取拓扑序既不是最小也不是最大的一个 \(SCC\)，翻转其内一点，设拓扑序最小的 \(SCC\) 为 \(a\)，最大的为 \(b\)，翻转的那个点为 \(z\)，对于任何点对 \(x,y\)，都存在路径 \(x \to b \to z \to a \to y\)，因此图就为强连通图了。

得做法为：\(n \leqslant 6\) 时枚举翻转点的集合，\(n>6\) 时枚举翻转哪个点。

还需快速判断一个竞赛图是否为强连通图。发现竞赛图缩点后，拓扑序最大的 \(SCC\) 中每个点都比该 \(SCC\) 外的任意一点出度小，设该 \(SCC\) 内点数为 \(k\)，得其出度之和为 \(\binom{k}{2}\)，有结论：

一个竞赛图非强连通的充要条件为其点按出度从小到大排序后，存在 \(k<n\) 使得最小的 \(k\) 个点出度之和为 \(\binom{k}{2}\)。

根据这个结论就能快速判断竞赛图是否为强连通图了。

E

先考虑树的做法，设 \(f_x\) 为点 \(x\) 的答案，按边权从大到小加入边，用 \(f_x+f_y\) 更新 \(f_x\) 和 \(f_y\)。但是在仙人掌上沿用树的做法会算重，需要减去算重的部分。设 \(\min\) 为环上边权最小的边，\(\max\) 为在同一个环上边权最大的边，当 \(\min\) 到 \(\max\) 的两条路径上的边权都递增时，\(\max\) 的两个端点会在 \(\min\) 的两个端点处算重，减去即可。