BSGS

BSGS

求解 \(a^x \equiv b \pmod{p},a \bot p\)。

由欧拉定理 \(a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod{m},a \bot m\) 得方程的解取值范围为 \([1,\varphi(m)]\)。

设 \(x=A \sqrt p - B,0 \leqslant A,B \leqslant \sqrt p\)，得：

\[\large\begin{aligned} a^{A \sqrt p - B} &\equiv b \pmod{p} \\ a^{A \sqrt p} &\equiv a^Bb \pmod{p} \end{aligned} \]

先枚举 \(B\) 算出 \(a^Bb\) 的所有取值，然后枚举 \(A\) 算出 \(a^{A \sqrt p}\)，查找是否有相等的 \(a^Bb\)。复杂度为 \(O(\sqrt p)\)。

防止出现负数解，\(A\) 的枚举范围为 \([1,\sqrt p]\)，\(B\) 的枚举范围为 \([0,\sqrt p]\)。

为保证正确性，\(\sqrt p\) 要上取整。

扩展BSGS

求解 \(a^x \equiv b \pmod{p}\)，不保证 \(a \bot p\)。

因为此时不保证 \(a \bot p\)，不一定存在逆元，所以不能直接做。

设 \(g_1=\gcd(a,p)\)，方程同除 \(g_1\) 得：

\[\large \frac{a}{g_1}a^{x-1} \equiv \frac{b}{g_1} \pmod{\frac{p}{g_1}} \]

若 \(a \not \bot \frac{p}{g_1}\)，就设 \(g_1=\gcd(a,\frac{p}{g_1})\)，方程同除 \(g_2\) 得：

\[\large \frac{a^2}{g_1g_2}a^{x-2} \equiv \frac{b}{g_1g_2} \pmod{\frac{p}{g_1g_2}} \]

设变换了 \(k\) 次，直到 \(a \bot \frac{p}{g_1g_2 \dots g_k}\)，在过程中，若 \(g_k \not \mid \frac{b}{g_1g_2 \dots g_{k-1}}\) 则方程无解。

设 \(G= \prod\limits_{i=1}^k g_i\)，得：

\[\large \frac{a^k}{G}a^{x-k} \equiv \frac{b}{G} \pmod{\frac{p}{G}} \]

由 \(a \bot \frac{p}{G}\) 得 \(\frac{a^k}{G} \bot \frac{p}{G}\)，此时 \(\frac{a^k}{G}\) 存在逆元，得：

\[\large a^{x-k} \equiv \frac{b}{a^k} \pmod{\frac{p}{G}} \]

然后直接应用 \(BSGS\) 求解即可。

注意到解可能小于等于 \(k\)，因此还需进行验证。

ll bsgs(ll a,ll b,ll p)
{
    ll s=ceil(sqrt(p)),v=b,val;
    for(int i=0;i<=s;++i,v=v*a%p) h[v]=i;
    v=val=qp(a,s,p);
    for(int i=1;i<=s;++i,v=v*val%p)
        if(h.count(v))
            return i*s-h[v];
    return -1;
}
ll exbsgs(ll a,ll b,ll p)
{
    a%=p,b%=p;
    if(b==1||p==1) return 0;
    ll g,cnt=0,mul=1,v=a;
    for(int i=1;i<=30;++i,v=v*a%p)
        if(v==b)
            return i;
    while((g=exgcd(a,p))!=1)
    {
        if(b%g!=0) return -1;
        cnt++,b/=g,p/=g,mul=mul*(a/g)%p;
    }
    ll ans=bsgs(a,b*inv(mul,p)%p,p);
    if(~ans) return ans+cnt;
    return -1;
}