概率论与数理统计
概率论与数理统计
第一讲 随机事件与概率
1.1 随机事件
知识点
例题
1.2 事件间的关系与运算
知识点
注：重要公式——被减数 - 减数 = 被减数 - 两者的交集 (在集合或事件的运算中总是成立)
例题
1.3 概率的定义与性质
知识点
例题
1.4 古典概型
知识点
排列和组合
排列公式
组合公式
例题
1.5 几何概型
知识点
例题
1.6 条件概率与乘积公式
知识点
注：公式4——忽略后面的A，P(B∪C) = P(B) + P(C) -P(BC)，然后加入A；
公式5同理——忽略A，P(B-C) = P(B) - P(BC);
注：P(ABC)——第一步让A发生，第二步让B发生，但A已经发生，因此是P(B|A)，第三步让C发生，但AB已经发生，因此是P(C|AB);
例题
注：三事件——“第1此通过”、“第1次未过，第2次通过”、“前2次均未过，第3次通过”为互斥事件，因此互斥事件的概率 = 各事件概率的和；
1.7 全概率公式与贝叶斯公式
知识点
注：划分，又称为完备事件组；
注：由右下角图可知，BA1与BA2之间互斥，因此BA1,BA2,BA3······BAn是完备事件组；
注：贝叶斯公式，又称为逆概公式；
贝叶斯公式本质：已知一个复杂事件B发生的前提条件下，第j个小划分(完备)事件发生的条件概 率；
逆概公式原因：已知一个复杂事件发生的前提下，反过来求其中一个小划分(完备)事件发生的条件概率；
注：因为划分不唯一，因此要找到适合该应用题的一个划分；
例题
注：凡是涉及到复杂事件的概率，需要考虑用全概率公式；而第一步就是要找到适合于本题的一个划分——分阶段；
注：已知复杂事件发生的条件下， 问事件发生原因，需要考虑用贝叶斯公式；
1.8 事件的独立性
知识点
例题
注：独立 ≠ 互斥
1.9 伯努利概型
知识点
例题
第二讲 随机变量及其分布
2.1随机变量与分布函数
知识点
例题
2.2 离散型随机变量及其分布
知识点
注：仅X1,X2,X3三个点上有概率，其余区域无；
例题
注：X=0,1,2,3最后一个1/2是不能通过的概率，X=4中的所有1/2是允许通过的概率；
知识点
注：二项分布的基础是 伯努利试验；
注：
-
泊松分布中λ 是单位时间 / 空间内事件的平均发生次数；
-
泊松分布的期望和方差相等，均为 λ；
-
泊松分布与二项分布的关系，见下图
例题
例题解释，如下图
2.3 连续型随机变量及其分布
知识点
注：规范性解释，如下图：
例题
知识点
注：①的解释是使用了上述例题的秒杀法；
注：下方红字示例——无论小长度还是大长度，必须保证是有效长度；
注：举例——一个老电池使用t0个小时的情况下，它再使用T个小时的概率 = 一个新电池直接使用T个小时的概率
注：分子中交集，本质上是区间，“大大取大”，因此取P{x>t0+T}，然后用秒杀公式；
例题
均匀分布
注：十字交叉相乘法，如下图
指数分布
知识点
正态分布
注：δ越小，图越尖，原因——δ越小，fmax变大，要保证图形面积为1(+∞，-∞对f(x)的积分为1)，图会变尖；
注：在连续条件下，概率 = 面积；
例题
2.4 随机变量函数的分布
知识点
例题
注：一般求密度时，有效区间可以取成开区间，因此8 ≤ y可以改为8 < y， 把等号放入其他中；
注：
-
公式法的前提是 y = g(x) 具有单调性；
-
h`(y)取绝对值，是因为密度天然具有非负性；h(y)与y = g(x)同单调；
例题
注：满足公式法前提条件：单调；
注：如果不单调，检查其在有效区间上是否单调，如果单调，则可用公式法；
第三讲 多维随机变量及其分布
3.1 二维随机变量及其分布函数
知识点
注：无论X < -∞还是 Y < -∞，均是不可能事件，为空集；
例题
3.2 二维离散型R.V及其分布
知识点
例题
注：
P12中最后的C12表示从要放的两封信选出一封信，乘以1表示放入2号邮箱只有一种放法，后面乘以2表示放入3号或4号邮箱；
P13中将2封信捆绑成一个包，因此放法只有一种，分子为1；
3.3 二维连续型R.V及其分布
知识点
注：积分变量与字母无关，因此u,v可以变换为x,y；
例题
注：因为题中定义x > 0, y > 0, 将x,y看做u,v，则u > 0, v > 0；因此只有当(x,y)落在第一象限时，才会出现交集；
知识点
3.4 边缘分布
知识点
例题
知识点
例题
3.5 条件分布
知识点
例题
知识点
注：因为Y=y固定，在注①中y为常数，所以为一元函数；在注②中fY(y)也为常数可提取出来，后面的根据边缘密度函数公式可转换为fY(y)；
例题
注：由于固定Y=y，则$-\sqrt{1-y2}和\sqrt{1-y2}$均为常数；
3.6 二维R.V的独立性
知识点
例题
3.7 二维R.V函数的分布
例题
两个离散型R.V函数的分布
两个连续型R.V函数的分布
知识点
利用卷积公式求Z=X+Y的密度
例题
知识点
注：等价于——因为X,Y的最大值均小于Z，等价于两个变量分别都小于Z；
例题
第四讲 随机变量的数字特征
4.1 数学期望
知识点
例题
知识点
例题
连续型随机变量的数学期望
知识点
4.2 方差
知识点
例题
知识点
方差的性质
注：第4点，方差为0，说明随机变量等于它的数学期望是一个必然事件；
例题
4.3 常见分布的期望与方差
知识点
注：由于0^2 = 0 ，0乘以任何数都等于0，则将k=0改为k=1；
注：第二项是奇函数，积分后等于0；
例题
4.4 协方差与相关系数
知识点
协方差
相关系数
注：方差肯定大于等于0，因此关于t的一元二次函数也大于等于0；
例题
第五讲 大数定律和中心极限定理
5.1 大数定律
知识点
切比雪夫不等式
注：此处证明用了两次“放大”；
例题
注：切比雪夫不等式只能估计，不像密度函数可以求出来具体等于多少；
知识点
切比雪夫大数定律
伯努利大数定律
辛钦大数定律
注：辛钦大数定律的条件：期望存在，但方差不一定存在
5.2 中心极限定理
知识点
注：当n趋于∞时，“近似”可以换为“精确”；
例题
注：涉及到求和就可以考虑中心极限定理；
第六讲 样本与抽样分布
6.1 数理统计的基本概念
知识点
注：当n充分大时，经验分布函数 约等于 总体分布函数；
.
注：
- 第一个样本方差是修正方差，原本应除以n，修正后除以n-1，因为性质会更佳；
- x拔是常数；
例题
6.2 抽样分布
知识点
卡方分布
t分布
F分布
常见统计分布中 “n” 的含义对照表
例题
知识点
正态总体的样本均值与样本方差的分布
注：“理解①中”只要在独立的条件下，正态+正态还是正态，正态除以一个常数n也是正态；
注：分子可得到一个标准正态，分母可得到一个卡方；并且分子分母相互独立；因此一个分子除以根号卡分，且根号里要除自由度n-1，就是t分布；
例题
知识点
第七讲 参数估计
7.1 点估计
知识点
点估计
注：令总体的期望等于样本的均值
矩估计
注：总体矩E(x)右上角的“1”代表x的一次方；
例题
知识点
最大似然估计
例题
注：X服从泊松分布，其是离散型的；
注：x1,x2···要求均大于0；
7.2 估计量的评选标准
知识点
无偏性（重点）
例题
注：由于x1,x2,···xi,xi+1是独立且同分布，因此其期望方差均相同，则平方的期望也相同；
知识点
有效性
例题
知识点
一致性
例题
注：
- 第一步先看是否无偏；（样本方差的期望等于总体方差），因此由第一步得其是无偏的；
- 第二个公式，构建卡方分布，利用卡分分布性质，判断方差是否趋于0；
7.3 区间估计
知识点
置信区间
例题
注：
思路——构造一个含有μ的函数；
第一步——样本均值也服从正态分布，将其标准化；
第二步——求出函数的范围(a,b)，进而通过恒等变形求出μ的范围；
总结
注：此处的枢轴量指的就是J；
分情况：
情况一：
注：服从正态分布；
例题
情况二：
注：服从t分布；
例题：
注：S值题已告知，若未告知，则通过红色式子算；
情况三：
情况四：
第八讲 假设检验
8.1 题型一
检查均值μ
注：α指显著性水平；拒绝域指的是小概率事件对应的区间，即α概率构造的区间；.
假设检验：小概率事件在一次实验中基本不可能发生，如果发生，就要拒绝；
比如老师说他中了一个亿彩票，你本能就会不相信这个小概率事件；
注：若小概率事件落在拒绝域W，则拒绝H0，反之，接受H0；
8.2 题型二
检查方差
注：若题未告知S，则按上图中红色公式计算；
浙公网安备 33010602011771号