【算法】关于 i & (1<<j) 和 1 & (i>>j) 的解释

一、 i & (1<<j)

  1<<j表示二进制表示的1（即0001）的所有位向左平移j个单位后的数，如j=1，则平移后的结果是0010，此时得到数2。若j=3，平移后的结果是1000，此时得到数8。向左平移j位，即表示将原来的数乘上2^j。可以类比十进制，所有位左移j位，相当于在后面添了j个0，即乘上10^j，在二进制中，即乘上2^j。

  &在此处表示按位与，即两个二进制表示的数，在对应位置上进行取并的操作，都为1时取1，否则取0。如1010（十进制的10）和0101（十进制的5）进行按位与操作后，得到的是0000（十进制的0）。

  i & (1<<j)则表示 i 和 1<<j（即2^j） 按位与后得到的数。1<<j的二进制表示只有第j个位置（从右往左数，从0开始）上的数是1，其余位置上的数是0，i和1<<j 进行按位与操作时，i的第j个位置是1就返回1<<j（判断语句中即为true），i的第j个位置是0就返回0（判断语句中即为false）。

ex:i=18,j=3
00010010
00001000
________
00000000

具体地，

当i=0时，任何j都不满足。

当i=1时，j=0 满足条件。

当i=2时，j=1 满足条件。

当i=3时，j=0,1 满足条件。

当i=4时，j=2 满足条件。

当i=5时，j=0,2 满足条件。

当i=6时，j=1,2 满足条件。

当i=7时，j=0,1,2 满足条件。

当i=8时，j=3 满足条件。

...

当i=2^n-1时，j=0,1,2,...,n-1 满足条件。

  归纳一下，如果j表示数组a（长度为n）的索引，循环结构如下，则表示依次选取数组a的一个子数组进行操作，直到选到它本身。

for (let i=1; i<1<<n; ++i) {
        for (let j=0; j<n; ++j) {
            if (i & (1<<j)) {}
        }
    }

  例子：LeetCode 2044. 统计按位或能得到最大值的子集数目（中等），代码参考文献1

var countMaxOrSubsets = function(nums) {
    let cnt=0,res=0,n=nums.length;
    for (let i=1; i<1<<n; ++i) {
        let tem=0;
        for (let j=0; j<n; ++j) {
            if (i & (1<<j)) {
                tem |= nums[j];
            }
        }
        if (tem>res) {res=tem;cnt=0;}
        if (tem == res) {cnt++;}
    }
    return cnt;
};

例如，当a=[3,1]时，

i=1,j=0时，取[3]，tem=3,res=3,cnt=1；

i=2,j=1时，取[1]，tem=1,res=3,cnt=1；

i=3,j=0时，取[3]，tem=3;

i=3,j=1时，取[1]，tem=3,res=3,cnt=2。

返回2。

二、 1 & (i>>j)

  1 & (i>>j)相当于i 右移 j 位后，若为奇数则返回1，若为偶数则返回0。代码相当于：

let a = i/(2**j);
if (a % 2 == 0) {
	return 0;
} else {
    return 1;
}

若i>=0 && i < 2^n ,j>=0 && j<n ，具体地，

当i=0时，任何j都不满足。

当i=1 时，j=0满足条件。

当i=2 时，j=1时满足条件。

当i=3 时，j=0,1时满足条件。

当i=4 时，j=2时满足条件。

当i=5 时，j=0,2时满足条件。

当i=6 时，j=1,2时满足条件。

当i=7 时，j=0,1,2时满足条件。

当i=8 时，j=3时满足条件。

...

当i=2^n-1 时，j=0,1,2,...,n-1时满足条件。

  归纳，1 & (i>>j) 和i & (1<<j) 的效果一样，都是依次取出[0,1,2,...,n-1]的子集，直到取到其本身。

参考

1.5904. js 暴力