概率与期望

P(S)是获得S中的元素的概率

E(S)是获得S中的元素的期望步数

E(S)=1/P(S)

 

min-max容斥

记min(S)为出现S中任意一个元素

   max(S)为出现S中全部元素

P(min(S))=∑i∈S P(i)

E(min(S))=1/P(min(S))

则E(min(S))为出现S中任意一个元素的期望步数

E(max(S))为出现S中全部元素的期望步数

E(max(U))=∑S∈U E(min(S))*(-1)^(|S|+1)

 

概率正着DP，期望倒着DP

若一个dp式子为f(i)=f(i)*p+x，则f(i)=x/(1-p)

如果dp的转移是一个环（上面相当于一个自环），那么我们令p=走这个环一圈的概率，x=走这个环一圈的所需步数，跟上面一样转移即可

 

记E为满足某条件的期望步数

P(i)为走i步无法满足某条件的概率

E= ∑ t=0~∞ P(t)

证明就是有P(t)的概率还需要再走一步

 

然后还有一个套路是，如果图上有点在游走，那么可以设dp[i][j]表示第i秒游走到j的概率

dp[i][j]=dp[i-1][to[j]] ......

则Ans[j]可以由dp数组乱搞得到，然后可以把dp的转移代进去得到Ans的转移，由于是图，所以来一波高斯消元

或者dp[i]表示经过i点的期望次数，dp[i]=dp[to[i]]+ 一开始就在i点