二分查找及其边界问题探析

二分查找算法以及常见的边界细节问题

1. 基本的二分搜索

这个场景是最简单的，即二分搜索一个数，如果存在，返回其索引，否则返回 -1。

可以写出以下代码

int binarySearch(int[] nums, int target) {
    int left = 0; 
    int right = nums.length - 1; // 注意

    while(left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if(nums[mid] == target)
            return mid; 
        else if (nums[mid] < target)
            left = mid + 1; 
        else if (nums[mid] > target)
            right = mid - 1; 
    }
    return -1;
}

这里很多人搞不清楚while里面的内容什么时候用"<" 什么时候用 "<="。

• 当设置right = nums.length - 1时，需要用到<=， 因为整个搜索范围是个闭区间[left, right]， 当left==right时，区间是有效的。

• 当设置right = nums.length时，需要用到<， 因为整个搜索范围是个左闭右开区间[left, right)

2.寻找有序数组中的某个元素的左边界

在二分搜索中,如果排序数组中有多个相同元素,需要我们找到该元素的第一次出现的位置,也就是左边界,普通的二分搜索就失效了。

我们只需要对二分搜索稍加修改，由于 while 的退出条件是 left == right + 1，所以当 target 比 nums 中所有元素都大时，会存在索引越界,最后需要处理一下出界情况。

int binarySearch(int[] nums, int target) {
    int left = 0; 
    int right = nums.length - 1; 

    while(left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if(nums[mid] == target)
            right = mid - 1; // 注意
        else if (nums[mid] < target)
            left = mid + 1; 
        else if (nums[mid] > target)
            right = mid - 1; 
    }
    if (left >= nums.length || nums[left] != target) {
        return -1;
    }
}

记住，找左边界，就需要从右边界不断逼近，当nums[mid] == target时，收缩右边界。

3.寻找有序数组中的某个元素的右边界

同搜索左边界类似，每次nums[mid] == target需要收缩左边界,同时处理right<0的出界情况

int binarySearch(int[] nums, int target) {

   int left = 0, right = nums.length - 1;
    // 搜索区间为 [left, right]
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {
            // 搜索区间变为 [mid+1, right]
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            // 搜索区间变为 [left, mid-1]
            right = mid - 1;
        } else if (nums[mid] == target) {
            // 收缩右侧边界
            left = mid + 1;
        }
    }
    // 这里改为检查 right 越界的情况，见下图
    if (right < 0 || nums[right] != target) {
        return -1;
    return left;
}