小白自学数学建模丨M002 - 整数规划（ILP）
M002 - 整数规划 (ILP)
定义
数学规划中二点变量（部分或全部）限制位整数时，称为整数规划。
若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。
分类
- 变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。
- 变量部分限制为整数的，称混合整数规划。
特点
- 原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况
- 原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。
- 整数规划无可行解。
- 有可行解（当然就存在最优解），但最优解值变差。
- 整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。
相关问题
e.g. 合理下料
e.g. 建厂问题
e.g. 指派问题
e.g. 投资问题
e.g. 互斥约束问题
e.g. 固定费用问题
具体分析
依照决策变量取整要求的不同， 整数规划可分为
- 纯整数规划: 所有决策变量要求取非负整数（这时引进的松弛变量和剩余变量可以不要求取整数）。
- 全整数规划: 除了所有决策变量要求取非负整数外，系数\(a_{ij}\)和常数\(b_i\)也要求取整数（这时引进的松弛变量和剩余变量也必须是整数）。
- 混合整数规划: 只有一部分的决策变量要求取非负整数，另一部分可以取非负实数。
- 0-1整数规划: 所有决策变量只能取 0 或 1 两个整数。
整数规划与线性规划的关系
整数规划可行解是松弛问题可行域中的整数格点；
ILP最优值小于或等于松弛问题的最优值；
松弛问题无可行解， 则整数规划无可行解；
松弛问题最优解满足整数要求， 则该最优解为整数规划最优解；
整数线性规划的求解方法
从数学模型上看整数规划似乎是线性规划的一种特殊形式，
求解只需要在线性规划的基础上通过舍入取整，寻求满足整数要求的解即可。
分支定界算法
不考虑整数限制先求出相应松弛问题的最优解，
- 若松弛问题无可行解， 则ILP无可行解；
- 若求得的松弛问题最优解符合整数要求， 则是ILP的最优解；
- 若不满足整数条件， 则任选一个不满足整数条件的变量\(x_{i}^{0}\)
来构造新的约束添加到松弛问题中形成两个子问题\(x_i \le [x_{i}^{0}] \ ;\ x_i \ge [x_{i}^{0}] + 1\) - 依次在缩小的可行域中求解新构造的线性规划的最优解，并重复上述过程，直到子问题无解或有整数最优解（被查清）。
割平面算法
- 如果松弛问题(P0)无解， 则(P)无解；
- 如果(P0)的最优解为整数向量，则也是(P)的最优解；
- 如果(P0)的解含有非整数分量，则对(P0)增加割平面条件：即对(P0)增加一个线性约束，将(P0)的可行区域割掉一块，使得非整数解恰好在割掉的一块中，但又没有割掉原问题(P)的可行解，得到问题(P1)，重复上述的过程。
割平面算法基本步骤
- 求解线性规划最优解
\[x_i + \sum a_{ik}x_k = b_i
\]
\[a_{ik} = [a_{ik}] + (a_{ik} - La_{ik}) = [a_{ik}] + f_{ik}
\]
\[b_i = [b_i] + (b_i - Lb_i) = [b_i] + f_i
\]
\[x_i + \sum [a_{ik}]x_k + \sum [f_{ik}]x_k = [b_i] + f_i
\]
\[x_i + \sum [a_{ik}x_k - [b_i] = - \sum [f_{ik}]x_k + f_i
\]
互斥约束的推广
从下述p个约束条件中恰好选择q个约束条件\(\displaystyle\sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_j \le b_i (i = 1, 2, \cdots, p)\)
\[\begin{cases}
\displaystyle\sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_j \le b_i + My_i \\
\displaystyle\sum_{i=1}^{p} y_i = p - q
\end{cases}
(i = 1, 2, \cdots, p)
\]
指派问题的标准形式
有n个人和n项工作，已知第i个人做第j项工作的代价为\(c_{ij} (i, j=1, \cdots, n)\),
要求每项工作只能交与其中一人完成，每个人只能完成其中一项工作，问如何分配可使总代价最少？
指派问题的系数矩阵:
\[C = (c_{ij})_{n \times n} =
\begin{bmatrix}
{c_{11}}&{c_{12}}&{\cdots}&{c_{1n}}\\
{c_{21}}&{c_{22}}&{\cdots}&{c_{2n}}\\
{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\
{c_{n1}}&{c_{n2}}&{\cdots}&{c_{nn}}\\
\end{bmatrix}
\]
i行元素 —— 第i个人完成各项任务的代价
j列元素 —— 各人完成第j项工作的代价
指派问题的数学模型
\[x_{ij} =
\begin{cases}
1 \quad 第i个人做第j项工作 \\
0 \quad 第i个人不做第j项工作
\end{cases} \\
(i, \quad j = 1, \cdots, n)
\]
指派问题的解矩阵
\[X = (x_{ij})_{n \times n} =
\begin{bmatrix}
{c_{11}}&{c_{12}}&{\cdots}&{c_{1n}}\\
{c_{21}}&{c_{22}}&{\cdots}&{c_{2n}}\\
{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\
{c_{n1}}&{c_{n2}}&{\cdots}&{c_{nn}}\\
\end{bmatrix}
\]
\[min z = \displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{j=1}^n c_{ij}x_{ij}
\]
\[s.t.
\begin{cases}
\displaystyle\sum_{j=1}^n x_{ij} = 1 \quad (i = 1, \cdots, n) \\
\displaystyle\sum_{i=1}^n x_{ij} = 1 \quad (i = 1, \cdots, n) \\
x_{ij} = 0或1 \quad (i, j = 1, \cdots. n)
\end{cases}
\]
指派问题可行解中，每行每列有且仅有一个1
非标准形式的指派问题
- 最大化指派问题
\(C = (c_{ij})_{n \times n}\)中最大元素为m，令\(B=(b_{ij})_n \times n = (m - c_{ij})_{n \times n}\) - 人数和工作数不等
人多工作少: 添加虚拟的'人'，代价为0
人少工作多: 添加虚拟的'工作'，代价为0 - 一个人可以做多件工作
该人可化为几个相同的'人' - 某工作一定不能由某人做
该人做该工作的相应代价取足够大M
指派问题的匈牙利算法的一般步骤
- 变换指派问题的系数(也称效率)矩阵(\(c_{ij}\))为(\(b_{ij}\))，使在(\(b_{ij}\))的各行各列中都出现0元素，即
(1) 从(\(c_{ij}\))的每行元素都减去该行的最小元素；
(2) 再从所得新系数矩阵的每列元素中减去该列的最小元素。 - 进行试指派，以寻求最优解。
在(\(b_{ij}\))中找尽可能多的独立0元素，若能找出n个独立0元素，就以这n个独立0元素对应解矩阵(\(x_{ij}\))中的元素为1，其余为0，这就得到最优解。找独立0元素，常用的步骤为：
(1) 从只有一个0元素的行(列)开始，给这个0元素加圈，记作◎。然后划去◎ 所在列(行)的其它0元素，记作Ø；这表示这列所代表的任务已指派完，不必再考虑别人了。
(2) 给只有一个0元素的列(行)中的0元素加圈，记作◎；然后划去◎所在行的0元素，记作Ø；
(3) 反复进行(1)，(2)两步，直到尽可能多的0元素都被圈出和划掉为止。
(4) 若仍有没有划圈的0元素，且同行(列)的0元素至少有两个，则从剩有0元素最少的行(列)开始，比较这行各0元素所在列中0元素的数目，选择0元素少的那列的这个0元素加圈(表示选择性多的要“礼让”选择性少的)。 然后划掉同行同列的其它0元素。可反复进行，直到所有0元素都已圈出和划掉为止。
(5) 若◎元素的数目m 等于矩阵的阶数n，那么这指派问题的最优解已得到。若m < n,则转入下一步。 - 作最少的直线覆盖所有0元素。
(1)对没有◎的行打√号；
(2)对已打√号的行中所有含Ø元素的列打√号；
(3)再对打有√号的列中含◎ 元素的行打√号；
(4)重复(2)，(3)直到得不出新的打√号的行、 列为止；
(5)对没有打√号的行画横线，有打√号的列画纵线，这就得到覆盖所有0元素的最少直线数1。1应等于m，若不相等，说明试指派过程有误，回到第二步(4)，另行试指派；若1 = m < n，须再变换当前的系数矩阵，以找到n个独立的0元素，为此转第四步。 - 变换矩阵(bij)以增加0元素。
在没有被直线覆盖的所有元素中找出最小元素，然后打√各行都减去这最小元素；打√各列都加上这最小元素（以保证系数矩阵中不出现负元素）。新系数矩阵的最优解和原问题仍相同。转回第二步。
指派问题的计算机解法
c = [3 8 2 10 3; 8 7 2 9 7; 6 4 2 7 5; 8 4 2 3 5; 9 10 6 9 10];
c = c(:) % 把矩阵c转化为向量
a = zeros(10, 25) % 10行25列
for i = 1:5
a(i, (i-1)*5 + 1:5*1) = 1;
a(5+i, i:5:25) = 1
end % 此循环把指派问题转化为线性规划问题
b = ones(10, 1)
[x, y] = linprog(c, [], [], a, b, zeros(25, 1), ones(25, 1));
X = reshape(x, 5, 5)
opt = y
求得最优指派方案为\(x_{15} = x_{23} = x_{32} = x_{44} = x_{51} = 1\), 最优值为21
浙公网安备 33010602011771号