可撤销

可撤销背包

考虑一般的\(01\)背包。就是体积\(w_i\)，\(f_{j}\)表示体积为\(j\)的方案数。不撤销就是\(f_{j}+=f_{j-w_i}\)了，当然倒序。接下来考虑撤销，\(g_{j}\)表示去掉\(i\)后体积和为\(j\)的方案数。那我们使用\(w_i\)时，其他的体积和一定为\(j-w_i\)，所以使用\(w_i\)的方案数就是\(g_{j-w_i}\)，所以\(f_j-g_{j-w_i}\)就是\(g_j\)了。我们考虑从多项式的角度来思考，每个物品有选和不选状态，对应一个多项式\((1+x^{w_i})\),\(x\)表示一个占位符，说是叫形式幂级数，我不会，但是对理解这个没影响。那对于所有的\(i\)，\(\prod (1+x^{w_i})\)，然后\(x_j\)前面的系数就是\(f_j\)。撤销\(i\)就是除以\((1+x^{w_i})\)。但是考虑\(g_j=f_j-g_{j-w_i}\)这个操作对应多项式的什么操作。由上面的推导可知，这个操作其实是在把选择\(w_i\)的贡献删掉了，也就是把选择\(w_i\)这个选项给删掉了，也就是把\((1+x_{w_i})\to (1)\)这样了。但是我们期望把\((1+x_{w_i})\)都删掉而不是剩下\(1\)，只不过是剩下\(1\)，这样的值刚好不变就是了。那么理解了这个是什么以后，我们思考一下其他问题，例如，\(i\)不是选或不选，而是有几个选项，选择体积为\(w_1,w_2,w_3,\dots,w_k\)这样的选项，也就是变成了\(\prod (x_{w_1}+x_{w_2}+,\dots,+x_{w_k})\)，此时我们考虑是否能够令\(g_j=f_j-\sum_{j-w_{i,k}}\)。这样最后就变成了\(()\to (0)\)了所以\(g_j\)就是\(0\)了，问题就是出现在没有\(x_{0}=1\)兜底了，所以此时我们选择选择一个\(w_{i}\)，把其他的都减去，最后剩下\((x_{w_i})\)，那么我们给这个多项式除以\(x_{w_i}\)就行了，那么我们已经知道了\(g_{i,j}\)就是\(x_{j}\)的系数了，那除以\(x_{w_i}\)其实就是给多项式左移\(w_i\)了。例题：P15649

【不可撤销的背包】

遇到不可撤销的背包，可以采用线段树分治，缺一分治等优化复杂度。例题Loj6515。这个就是将每个数存在的时间表示出来，在时间轴上做，用线段树维护一下。

可撤销并查集

例如，要合并一些连通块并且要维护连通块之间的信息然后还要撤销一些连通块的合并。注意这里合并和撤销的顺序一定要满足栈序才能使用可撤销并查集。本质上就是把信息更改一遍再更改回来。那么这里并查集合并使用的是按并查集大小合并，也就是启发式合并，这样，找\(fa\)的时候最多走\(\log n\)层，复杂度就多个\(\log\)。具体的，如果要合并\(x,y\)所在的连通块，(钦定\(x,y\)为连通块的根,并且\(siz_x>siz_y\))。那么直接令\(fa[y]=x,siz_x+=siz_y\)，然后把这个操作记录下来。删的时候就是\(fa[y]=y,siz_x-=siz_y\)。如果有其他的操作就记录其他的操作。