寒假集训 数据结构

权值线段树

一个神奇的科技：通过简单重新编号可以使线段树只开两倍空间。对于一个区间 \([l,r]\)，将节点编号设为 \((l+r)\operatorname{or}[l\ne r]\)。这样这个节点的标号范围为 \([2l,2r]\)，实际 \(2mid+1\)，左右儿子的标号范围为 \([2l,2mid]\)，\([2mid+2,2r]\)。因此不会重复。

权值线段树：用线段树维护一个桶。

权值线段树按值域开空间，直接开四倍空间可能炸。这需要一个技巧：动态开点。刚开始只建出树根，当递归到一个没有的节点时再建出这个节点，空间复杂度降低到 \(O(m\log V)\)。

一道题：一棵树，点带权，一次操作修改一个点权或询问一条路径上某个权值的出现次数。

每个权值都开一个动态开点线段树，树上差分，维护每个结点到 \(1\) 的路径中该权值的个数。按 dfs 序建树，那么修改一个点，其子树会被影响，相当于区间 \(\pm1\)。

BZOJ3747

两个序列 \(w_i,f_i\)，定义一个区间 \([l,r]\) 的价值为 \(\sum_{i=l}^r w_{f{i}}[f_i\text{在区间中仅出现过一次}]\)。求最大价值。

枚举右端点，记 \(last_i\) 为 \(f_i\) 上一次出现的位置，\(f_i\) 可贡献的区间为 \([last_i+1,i]\)。此时 \(last_i\) 的贡献 \([last_{last_{i}}+1,last_i]\) 由于 \(f_i\) 的存在不再产生贡献。线段树维护即可。

树套树

线段树套线段树：大的线段树维护第一维信息，每一个节点上再开一个小的线段树维护第二维信息。

树状数组套线段树：第一维换成树状数组。

P2617

一个序列，需要支持单点修改、区间 rank。

树状数组套权值线段树，第一维维护区间下标，第二维维护值域。查询时在线段树上二分，同时在 \(R\) 和 \(L-1\) 的 \(O(\log n)\) 棵线段树上跳。

标记永久化

标记永久化是懒惰标记之外维护区间修改的方式，不下传标记。

区间修改：对于完全包含的打标记，对于不完全包含的，直接算出这个节点的区间与修改区间的交集计算影响。

区间查询：对于标记，由于标记不下传，每个经过的节点都要算标记与查询区间的交集的贡献。

void add(int pos,int nl,int nr,int gl,int gr,T k){
  if(gl<=nl&&nr<=gr){
    tr[pos].tag+=k;
    return;
  }
  tr[pos].v+=k*(min(nr,gr)-max(nl,gl)+1);
  int mid=(nl+nr)>>1;
  if(gl<=mid)add(pos<<1,nl,mid,gl,gr,k);
  if(gr>mid)add(pos<<1|1,mid+1,nr,gl,gr,k);
}
T query(int pos,int nl,int nr,int gl,int gr){
  if(gl<=nl&&nr<=gr)return tr[pos].v+tr[pos].tag*(nr-nl+1);
  int mid=(nl+nr)>>1;
  T ans=tr[pos].tag*(min(nr,gr)-max(nl,gl)+1);
  if(gl<=mid)ans+=query(pos<<1,nl,mid,gl,gr);
  if(gr>mid)ans+=query(pos<<1|1,mid+1,nr,gl,gr);
  return ans;
}

李超线段树

P4097

在平面直角坐标系下维护两个操作：加入一条线段，询问与直线 \(x=k\) 的交点最靠上的线段。

每个线段树的节点维护一条线段，表示跨过 \([l,r]\) 的线段中与 \(x=mid\) 的交点中最靠上的。

设原线段 \(f_1\)，新线段 \(f_2\)，分类讨论修改：

1.\(f_1\) 整体比 \(f_2\) 高，直接退出；

2.\(f_1\) 整体比 \(f_2\) 高，替换后退出；

3.\(f_1,f_2\) 有交点，这个区间替换成 \(x=mid\) 处交点高的线段，舍去的那条线段往交点所在的子节点递归。

查询时计算线段树查询时经过的所有区间记录的线段对应的 \(y\) 值的最大值。

线段树合并

如果两棵树有一棵节点为空，则返回另一棵的节点，否则合并两个节点的信息，递归合并左右子树。复杂度取决于节点数量。

P3224

一个 \(n\) 个点的无向图，点带权，每次操作连边或询问一个点联通的点权第 \(k\) 小的点。

并查集维护连通性，每个连通块开一棵权值线段树维护重要度的第 \(k\) 小，连边就是线段树合并，查询在权值线段树上二分。

P4556

一棵树，每次在路径 \(x\rightsquigarrow y\) 上打种类为 \(z\) 的标记，标记不会被覆盖。问最后每个节点被打最多次哪一种标记。

每个节点开一棵权值线段树，树上差分维护，最后 \(dfs\) 将子树的线段树合并取最大值就是该节点的答案。

P3521

一棵完全二叉树，每个叶节点有一个权值，可以任意交换左右子树，问先序遍历数形成的权值序列的最小逆序对数。

交换左右儿子对其他节点没有影响，可以贪心地交换。每个节点维护一个权值线段树，用线段树合并求出交换前的逆序对和交换后的逆序对。

整体二分

有若干个可以二分的问题，可以利用整体二分合并这些二分的过程，一次二分解决所有问题。

P3834

静态区间 rank。

把原来数组的值当做修改与询问一起分治，函数 solve(int l1,int r1,int l2,int r2) 表示 \(l_2\sim r_2\) 的询问的答案和修改的数在 \([l_1,r_1]\) 之间。

对于每一个询问需要查询 \([l,r]\) 之间小于等于 \(mid\) 的数量 \(num\)，如果小于 \(k\)，说明这个询问的答案在 \([mid+1,r]\) 之间，否则在 \([l,mid]\) 之间。对于答案在 \([mid+1,r]\) 之间的询问还要减去 \(num\)。最后分成两部分调用 solve(l1,mid,l2,l2+cnt1-1),solve(mid+1,r1,l2+cnt1,r2) 递归。

关于统计 \(num\)，在修改时如果 \(y\leq mid\) 就在 \(x\) 处加一，可以树状数组维护，递归之前清空。可以发现这样分治不会改变修改和询问的相对位置，因此是正确的。

边界条件：如果 \(l_1=r_1\) 就把当前询问的答案设为 \(l_1\) 后返回，如果 \(l_2>r_2\) 直接返回。

P3332

这题统计的是大于 \(mid\) 的个数，修改操作如果 \(c>mid\)，相当于对 \([l,r]\) 都加一，把单点修改换成区间修改即可。

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