寒假集训 根号算法

根号分类讨论

HDU7226

给出一个排列 \(p\)，一个完全图 \(i,j\) 的边权为 \(|i-j|\cdot|p_i-p_j|\)，求最小生成树。

构造一条链，连接 \(i,i+1\)，这样连的边小于 \(n\)。那么跑 Kruskal 求出来的最小生成树的边也小于 \(n\)。那么 \(|i-j|,|p_i-p_j|\) 必有一个小于 \(\sqrt n\)，分别枚举 \(|i-j|<\sqrt{n},|p_i-p_j|<\sqrt{n}\) 求出小于 \(n\) 的边跑 Kruskal，复杂度 \(O(n\sqrt n)\)。

分块

最常见的根号算法，可以维护一些线段树维护不了的信息，线段树能维护的需要进行信息合并，分块不需要。但是分块需要支持标记合并。

通常实现时，区间修改整块打标记，散块下传标记后暴力重构，询问整块查表，散块暴力扫描统计答案。

一次操作 \(O(B+\frac{n}{B})\)，\(B=\sqrt n\) 最优，为 \(O(\sqrt n)\)。

P3203

分块，维护 \(b_i,p_i\) 分别表示一个点跳出块的步数和跳出的位置。

CF121E

一个序列 \(a\)，两种操作：\(add\ l\ r\ v\) 区间加，\(count\ l\ r\) 询问 区间 \([l,r]\) 有多少 \(a_i\) 仅由 \(4,7\) 组成。\(1\leq N,M\leq 10^5,1\leq a_i\leq 10^4,\leq v\leq 10^4\)。

发现 1e4 内满足仅由 \(4,7\) 组成的很少，有 \(30\) 个，询问时枚举 \(30\) 个数。

那么操作二变成询问区间内有几个数等于 \(x\)。每个块开一个桶维护即可。

P5356

区间加，区间 rank。

每块维护排序的数组，询问二分答案，求区间有多少数小于等于 \(mid\)

修改 \(O(B\log n+\frac{n}{B})\)，查询 \(O(\frac{N}{B}\log^2n)\)。块长取 \(\sqrt{n\log n}\) 最优。复杂度 \(O(n\log n\sqrt{n\log n})\)。

当题目没有修改且询问的东西难维护，可以这么处理：

\(ans_{i,j}\) 为第 \(i\sim j\) 块的答案，\(sum_{i,j}\) 为前 \(i\) 块关于值 \(j\) 的某些信息。查询时用 \(ans\) 得到初步答案，用 \(sum\) 处理散块。代表性问题为区间众数。

AT_joisc2014_c

一个序列，多次询问区间加权众数。

\(ans_{i,j}\)：第 \(i\sim j\) 块的加权众数。

\(sum_{i,j}\)：前 \(i\) 块 \(j\) 的出现次数，用来处理散块。

查询时先取 \(ans\) 为初步答案，遍历散块更新答案，一个数的出现次数为散块的出现次数加上整块的出现次数，用 \(sum\) 查询。

P4135

一个序列，多次询问区间出现偶数次的元素个数。

同上。\(ans\) 得到初步答案，\(sum\) 更新散块。

BZOJ3744

一个序列，多次询问区间逆序对数。

\(sum_{i,j}\)：前 \(i\) 块不大于 \(j\) 的数出现次数；

\(ans_{i,j}\)：第 \(i\sim j\) 块逆序对数。

莫队

离线算法，通过对操作执行顺序进行修改可以达到 \(O(n\sqrt n)\)。需要能快速从 \([l,r]\) 转移到 \([l-1,r],[l+1,r],[l,r-1],[l,r+1]\)。

对序列分块，以询问左端点为第一关键字，右端点为第二关键字。然后维护 \(l,r\) 一边移动一边更新答案。

JZOJ3568

裸的莫队，维护一个桶。

P4137

一个序列，多次询问区间 \(\operatorname{mex}\)。

首先莫队维护一个桶。查询 \(\operatorname{mex}\) 时不能暴力遍历桶，可以再对这个桶使用分块，即莫队套值域分块，每个块维护一个种类数。询问时找到最小的有数字不出现的块（种类数小于块长），再遍历块内找 \(\operatorname{mex}\)。

P4867

一个序列，多次询问区间 \([l,r]\) 中数值介于 \([x,y]\) 之间的个数。

同上，莫队套值域分块。

树上莫队：

记录括号序，设节点在欧拉序的两次出现为 \(a,b\)。

不妨设 \(a_u<a_v\)。若 \(u\) 是 \(v\) 的祖先，那么 \(u\rightsquigarrow v\) 在欧拉序上为 \([a_u,a_v]\)。否则 \(u\rightsquigarrow v\) 对应 \([b_u,a_v]\)。这个区间不包含 \(lca(u,v)\)，需要额外加上。

如果一个点在区间内出现两次，说明这个点进了又出了，不在路径上。那么在路径上的点会出现一次，不在的点会出现两次。

SP10707

一棵树，多次询问路径 \(u\rightsquigarrow v\) 上的点权种类数。

树上莫队板子。

带修莫队：

加一维 \(x\) 时间戳表示经过了多少修改，与 \(l,r\) 指针一样转移。

分块方法类似，三个关键字。块长取 \(n^{\frac{2}{3}}\) 时有最优复杂度 \(O(n^\frac{5}{3})\)。

如果莫队有 \(d\) 维，块长取 \(n^{\frac{d-1}{d}}\) 最优，复杂度 \(O(n^\frac{2d-1}{d})\)。

P1903

带修莫队板子。

定期重构

对于修改操作不是马上更新，而是保存一些修改操作，当修改操作达到一个值 \(C\) 时暴力更新维护信息并清空保存的修改，共 \(O(\frac{NM}{C})\)。对于查询，先假设没有修改，再枚举修改对询问产生的影响，共 \(O(NC)\)。一般 \(C\) 取 \(\sqrt m\) 最优。

LOJ6282

一个序列，需要支持插入和查询某个位置的值。

不会平衡树可以定期重构，每 \(\sqrt m\) 个修改就 \(O(n)\) 建出序列；每个查询 \(O(\sqrt m)\) 计算保存的修改对查询的影响。

另一道题：

一个 \(n\times m\times h\) 的三维空间，每次操作在空间中加点或询问一个位置到最近点的曼哈顿距离。

维护一个 \(dis\) 表示每个位置的最近点。

重构：将新增的点与已有点混合跑 bfs；

询问：枚举新增点的曼哈顿距离与 \(dis\) 取 \(\min\)。

根号分治

原始的根号算法。对于一道题，想两种暴力做法，一种块长在分子，一种块长在分母。那么以根号为分界线分治，就能让两种方法的复杂度平衡。

一道题：

一个 \(01\) 串 \(S\)，多次询问，给出一个 \(01\) 串，求 \(S\) 有几个子串 \(0\) 和 \(1\) 的个数与这个串相同。

设分治的阈值为 \(B\)。

记询问的串长和为 \(P\)，暴力枚举 \(S\) 中长度相同的串，总共 \(O(N\frac{P}{B})\)；

预处理 \(f_{i,j}\) 表示长度为 \(i\)，有 \(j\) 个 \(0\) 的数量。复杂度 \(O(NB)\)。

总共 \(O(N(B+\frac{P}{B}))\)，\(B=\sqrt P\) 时平衡，复杂度 \(O(N\sqrt P)\)。

整除分块

用来求求和符号内带有 \(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\) 的式子，例如 \(\sum_{i=1}^n f(i)\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)。

不难发现 \(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\) 的取值是成段的。当 \(i\leq\sqrt n\)，取值不超过 \(\sqrt n\) 种，当 \(i>\sqrt n\)，\(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\leq\sqrt n\)。因此总取值是根号级别的。

假设已知每一块左端点 \(l\) 和右端点 \(r\) 计算贡献，那么式子就变成 \(\sum_{(l,r)}[\sum_{i=l}^rf(i)]\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)。

关于 \(r\)：

\[\begin{aligned}\lfloor\frac n l\rfloor&=\lfloor\frac n r\rfloor\\\lfloor\frac n l\rfloor&\leq\frac n r\\r&\leq\frac{n}{\lfloor\frac{n}{l}\rfloor}\end{aligned} \]

因此 \(r=\lfloor\frac{n}{\lfloor\frac{n}{l}\rfloor}\rfloor\)。

P2261

求 \(\sum_{i=1}^n k\bmod i\)。

推式子：

\[\begin{aligned}\sum_{i=1}^n k\bmod i&=\sum_{i=1}^n k-\lfloor\frac{k}{i}\rfloor i\\&=nk-\sum_{i=1}^n \lfloor\frac{k}{i}\rfloor i\\&=nk-\sum_{(l,r)}(\sum_{i=l}^ri)\lfloor\frac{k}{i}\rfloor\\&=nk-\sum_{(l,r)}\frac{(l+r)(r-l+1)}{2}\lfloor\frac{k}{i}\rfloor\end{aligned} \]

之后是整除分块板子。

[[数据结构]]