悬线法 学习笔记

概述

一种简单的 DP 技巧，可以在某些单调栈题中使用，相对单调栈更好理解。

例题

P4147

最大子矩形问题。

首先算出 \(l_{i,j},r_{i,j},u_{i,j}\)，分别表示一个点向左、右、上可以走多少格，容易递推。

for(int i=1;i<=n;i++){
  for(int j=1;j<=m;j++)if(a[i][j]=='F')l[i][j]=l[i][j-1]+1,u[i][j]=u[i-1][j]+1;
  for(int j=m;j>=1;j--)if(a[i][j]=='F')r[i][j]=r[i][j+1]+1;
}

悬线是指一个点不断向上延伸直到碰到障碍形成的竖线。求出每条悬线左右最多移动到的位置，最大子矩形必然由一条悬线左右移动而成，否则这个矩形可以拓展。

设 \(L_{i,j},R_{i,j}\) 为以一个点开始的悬线可以向左、向右移动多少格，则：

\[L_{i,j}=\begin{cases}\min(l_{i,j},L_{i-1,j})\,&(i-1,j)\text{可选}\\l_{i,j}\,&(i-1,j)\text{不可选}\end{cases} \]

\[R_{i,j}=\begin{cases}\min(r_{i,j},R_{i-1,j})\,&(i-1,j)\text{可选}\\r_{i,j}\,&(i-1,j)\text{不可选}\end{cases} \]

那么直接复用 \(l,r\) 数组 DP，最大子矩形的面积即为 \(u_{i,j}\times(L_{i,j}+R_{i,j}-1)\)。

for(int i=1;i<=n;i++){
  for(int j=1;j<=m;j++){
    if(a[i][j]=='R')continue;
    if(a[i-1][j]=='F')l[i][j]=min(l[i][j],l[i-1][j]),r[i][j]=min(r[i][j],r[i-1][j]);
    ans=max(ans,(l[i][j]+r[i][j]-1)*u[i][j]);
  }
}

[[动态规划]]