初等数论初步——算数基本定理

算数基本定理

任何大于1的整数都可以分解成素因数乘积的形式，并且，如果不计分解式中素因数的次序，这种分解式是唯一的

1）证明：

存在性：对于大于1的整数你，如果n不是素数，我们可以将n分解成一个素数和某个大于1的整数a的乘积；如果a是素数,则过程停止，如果a不是素数，又可以将a分解成一个素数和某个大于1的整数b的乘积；如果b是素数,则过程停止，如果b不是素数，又可以将b分解成一个素数和某个大于1的整数c的乘积；如此进行下去，直到过程停止。最后总可将n分解成一些素数的乘积。

唯一性：假设n有如下两个素因数分解式：

n = p1*p2*p3*...*pr = q1*q2*q3*...*qs,其中p1、p2、p3...pr，q1、q2、q3...qs都是n 的素因数

由于p1是素数，且p1 | q1*q2*q3...*q3，所以存在qi,是的p1 | qi,当不计因数的顺序是，可假定p1 | q1,由于p1、q1都是素数，故p1 = q1;

由于p2是素数，且p2 | q1*q2*q3...*q3，所以存在qi,是的p2 | qi,当不计因数的顺序是，可假定p2 | q2,由于p2、q2都是素数，故p2 = q2;

如此下去，最后的r = s,且pi = qi,i = 1,2,...r

2)应用

在实际应用中，我们常常将素因数分解式中相同的几个素因数的乘积写成幂的形式。需要说明的是素因数分解式只是理论上的结果，实际上得到一个大于1的正整数的素因数分解式是不容易的。

我们来看一下它的一个重要应用

例：分别将1500、152进行素因数分解，你能快速的写出(1500,152)和[1500,152]吗？

解：1590 = 2^2 * 3 * 5^3     　　152 = 2^3 * 19

由此我们不难得出(750,152) = 2^2 = 4,[1500,152] = 2^3 * 3 * 5^3 * 19 = 34200

结论：一般地，对于给定的大于1的整数a、b,分别写成素因数分解式(幂的乘积的形式)，如果其中有素因数不在a或不在b中，则将这个因数的幂指数写作0。那么(a,b)可以写成这些因数的幂的乘积，这些因数的幂指数为a、b中幂指数的较小者;[a,b] 也以写成这些因数的幂的乘积，这些因数的幂指数为a、b中幂指数的较大者。