三局两胜还是五局三胜？

听说是字节的面试题，

小明和小红打乒乓球，已知小明每一局胜的概率55%，那么那种方式对小明更有利，是五局三胜还是三局两胜？

分别计算两种规则下小明获胜的概率：

“三局两胜制”：

只有2种情况：比赛2场2场小明胜，比赛3场最后一场小明胜，前面两场中有一场胜。

$$g(p) = p^2 + C_2^1p(1-p)p = p^2(3-2p)$$

"五局三胜"：

有3中情况：比赛3场3场小明全胜，比赛4场最后一场小明胜，前面三场中有两场胜，比赛5场最后一场小明胜，前面四场有两场胜。

$$f(p) = p^3 + C_3^2 p^2 (1-p)p + C_4^2 p^2 (1-p)p = p^3 (6 p^2 - 15p + 10)$$

将两者相减：

$$f(p) - g(p) = 3p^2(1-p)^2(2p-1)$$

因为 $p > 0$，所以 $f(p)-g(p) > 0$，因此“五局三胜”更有利。

 

感性的理解，局数越多越稳定，实力强的取胜概率越大。

 

参考链接：

1. https://www.jianshu.com/p/b10a218e6e68

2. https://blog.csdn.net/lanchunhui/article/details/50339587