一个莫比乌斯等式的证明

证：$\displaystyle \sum_{i=1}^n \mu (i)^2 = \sum_{i=1}^{\left \lfloor \sqrt n \right \rfloor}\mu (i)\left \lfloor \frac{n}{i^2} \right \rfloor$，其中 $\mu (x)$ 为莫比乌斯函数.

分析：

在等式的推到中，最重要的是理解一个等式的含义。

上式左边其实是求 $1 \sim n$ 中无平方因子数的个数，右边相当于枚举 $n$ 的平方因子，再乘以容斥系数。

因此，也找到了严格证明的方法了。

证：

设 $f(x)$ 为 $x$ 的最大的平方因子。

于是 $\displaystyle \sum_{i=1}^n \mu (i)^2 = \sum_{i=1}^n[f(i)==1]$（最大平方因子为1）。

使用经典套路：

$$
\begin{aligned}
\sum_{i=1}^n \mu (i)^2 & = \sum_{i=1}^n[f(i)==1]\\
&= \sum_{i=1}^n\varepsilon(f(i))\\
&= \sum_{i=1}^n\sum_{d|f(i)}\mu (d)
\end{aligned}$$

改变枚举顺序：

$$
\begin{aligned}
\sum_{i=1}^n\sum_{d|f(i)}\mu(d) & = \sum_{d=1}^n \mu (d)\sum_{i=1}^n d^2 | i\\
&=  \sum_{d=1}^n \mu (d)\left \lfloor \frac{n}{d^2} \right \rfloor \\
&=  \sum_{d=1}^{\sqrt n} \mu (d)\left \lfloor \frac{n}{d^2} \right \rfloor
\end{aligned}$$

证毕

 

 

参考链接：https://zhuanlan.zhihu.com/p/36745053