数论分块与整除相

引理一

$$\forall a,b,c\in\mathbb{Z},\left\lfloor\frac{a}{bc}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor}{c}\right\rfloor$$

略证：

\begin{split} &\frac{a}{b}=\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor+r(0\leq r<1)\\ \Rightarrow &\left\lfloor\frac{a}{bc}\right\rfloor =\left\lfloor\frac{a}{b}\cdot\frac{1}{c}\right\rfloor =\left\lfloor \frac{1}{c}\left(\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor+r\right)\right\rfloor =\left\lfloor \frac{\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor}{c} +\frac{r}{c}\right\rfloor =\left\lfloor \frac{\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor}{c}\right\rfloor\\ &&\square \end{split}

引理二

$$\forall n \in N, \left|\left\{ \lfloor \frac{n}{d} \rfloor \mid d \in N \right\}\right| \leq \lfloor 2\sqrt{n} \rfloor$$

$|V|$表示集合$V$的元素个数

略证：

对于$d \leq \left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor$，$\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor$有$\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor$种取值.

对于$d \geq \left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor$，有$\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor \leq \left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor$，也只有$\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor$种取值.

数论分块

数论分块的过程大概如下：考虑含有$\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor$的求和式子（$n$为常数）

对于任意一个$i$($i \leq n$)，我们需要找到一个最大的$j$($i \leq j \leq n$)，使得$\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor = \left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor$.

那么$j = \left \lfloor \frac{n}{\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor} \right \rfloor$.

略证：

\begin{split} &\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor \leq \frac{n}{i}\\ \Rightarrow &\left\lfloor\frac{n}{ \left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor }\right\rfloor \geq \left\lfloor\frac{n}{ \frac{n}{i} }\right\rfloor = \left\lfloor i \right\rfloor=i \\ \Rightarrow &i\leq \left\lfloor\frac{n}{ \left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor }\right\rfloor\\ &&\square \end{split}

即$j = \left \lfloor \frac{n}{\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor} \right \rfloor$.

利用上述结论，我们每次以$[i,j]$为一块，分块求和即可.

实现

快速计算$\sum \left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor$的方法：

for(int l = 1, r; l <= n;l = r+1)
{
    r = n / (n / l);
    ans += (r-l+1) * (n / l);
    printf("%d  %d  %d  %d\n", l, r, n/l, n/r);
}

 

 

参考链接：https://oi-wiki.org/math/mobius/