高数线代总结

高数

导积公式

\[\int\frac{1}{\cos x}\,{\rm d}x=\int\sec x\,{\rm d}x=\ln|\sec x+\tan x|+C \\ \\ \int\frac{1}{\sin x}\,{\rm d}x=\int\csc x\,{\rm d}x=\ln|\csc x-\cot x|+C \\ \\ \int\frac{1}{\tan x}\,{\rm d}x=\int\frac{1}{x(1+x^2)}\,{\rm d}x=\ln\sin x+C \quad \\ \\ \int\sec^2 x \,{\rm d}x=\int(\tan^2 x+1)\,{\rm d}x=\tan x+C \\ \\ \int \sec^3(x) \, dx = \frac{1}{2} \left( \ln|\sec(x) + \tan(x)| + \sec(x) \tan(x) \right) + C \quad \boxed{\frac{1}{2}(\sec x的积分加导数)} \\ \\ \int\csc^2 x \,{\rm d}x=\int(\cot^2 x+1)\,{\rm d}x=-\cot x+C \\ \\ \int \csc^3(x) \, dx = -\frac{1}{2} \left( \ln|\csc(x) - \cot(x)| - \csc(x) \cot(x) \right) + C \quad \boxed{-\frac{1}{2}(\csc x的积分加导数)} \\ \\ \int\sec x \tan x\,{\rm d}x=\sec x+C \\ \\ \int\csc x \cot x\,{\rm d}x=-\csc x+C \\ \\ \int\frac{1}{a^2+x^2}\,{\rm d}x=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C \\ \\ \int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,{\rm d}x=\arcsin\frac{x}{a}+C \\ \\ \int{\sqrt{a^2-x^2}}\,{\rm d}x = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a} + C \\ \\ \]

\[\int\frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}\,{\rm d}x=\frac{1}{2}\arcsin\sqrt{x}+C \quad \\ \\ \int\frac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}}\,{\rm d}x=\ln|x+\sqrt{x^2 \pm a^2}|+C \quad \\ \\ \int e^{ax}\sin{bx}\,{\rm d}x=\frac{\begin{vmatrix} ae^{ax} & b\cos{bx}\\ e{ax} & \sin{bx} \end{vmatrix} }{a^2+b^2}+C \quad \\ \\ \int e^{ax}\cos{bx}\,{\rm d}x=\frac{\begin{vmatrix} ae^{ax} & -b\sin{bx}\\ e^{ax} & \cos{bx} \end{vmatrix}}{a^2+b^2}+C \quad \boxed{上导下原} \\ \\ \int x^n \ln{x}\,{\rm d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}\bigg( lnx-\frac{1}{n+1}\bigg)+C \quad \]

定积分的几何应用

面积

\[S=\iint\limits _ {D} 1\,{\rm d}\sigma=\int_a^b{\rm d}x\int_{g(x)}^{f(x)}1\,{\rm d}y=\int_a^b[f(x)-g(x)]\,{\rm d}x. \]

\[S=\iint\limits _ {D}1\,{\rm d}\sigma=\int_{\alpha}^{\beta}{\rm d}\theta\int_{0}^{\rho(\theta)}\rho\,{\rm d}\rho=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} \rho^2(\theta) \,{\rm d}\theta. \]

体积

总论

\[{\rm d}V = 2\pi r(x,y){\rm d}\sigma ,\quad r(x, y)=\frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}. \]

\[V=2\pi \iint\limits_{D} r(x,y)\,{\rm d}\sigma. \]

绕轴旋转

\[V_x=2\pi \iint\limits_{D} y\,{\rm d}x{\rm d}y = 2\pi\int_a^b{\rm d}x\int_{0}^{f(x)}y\,{\rm d}y=\pi\int_a^bf^2(x)\,{\rm d}x. \]

\[V_y=2\pi \iint\limits_{D} x\,{\rm d}x{\rm d}y = 2\pi\int_a^b{\rm d}x\int_{0}^{f(x)}x\,{\rm d}y=2\pi\int_a^bxf(x)\,{\rm d}x. \]

弧长

总论

\[\text{弧微分：}{\rm d}s = \sqrt{({\rm d}x)^2+({\rm d}y)^2}. \]

\[\text{弧长：}s =\int {\rm d}s= \int\sqrt{(x^\prime)^2+(y^\prime)^2}. \]

具体坐标系

\[s =\int_a^b\sqrt{1+[f^\prime(x)]^2}\,{\rm d}x. \]

\[s =\int_a^b\sqrt{[x^\prime(t)]^2+[y^\prime(t)]^2}\,{\rm d}t. \]

\[s =\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\rho(\theta)^2+[\rho^\prime(\theta)]^2}\,{\rm d}\theta. \]

侧面积

总论

\[S=2\pi\int f(x) {\rm d}s. \]

具体坐标系

\[S=2\pi\int_a^bf(x)\sqrt{1+[f^\prime(x)]^2}\,{\rm d}x. \]

\[S=2\pi\int_a^by(t)\sqrt{[x^\prime(t)]^2+[y^\prime(t)]^2}\,{\rm d}t. \]

\[S =2\pi\int_{\alpha}^{\beta}\rho(\theta)\sin\theta\sqrt{\rho(\theta)^2+[\rho^\prime(\theta)]^2}\,{\rm d}\theta. \]

曲率曲率半径

\[k=\frac{|y^{\prime\prime}|}{(\sqrt{1+(y^\prime)^2})^3},\quad R=\frac{1}{k}=\frac{(\sqrt{1+(y^\prime)^2})^3}{|y^{\prime\prime}|} \]

高阶导数

\[\bigg(\frac{1}{ax+b}\bigg)^{(n)}=(-1)^{n}a^{n}\frac{n!}{(ax+b)^{n+1}} \]

\[[\ln{(ax+b)}]^{(n)}=(-1)^{n-1}a^n \frac{(n-1)!}{(ax+b)^{n}} \]

隐函数求导

仅驻点处，可以很方便的计算极值问题

\[F(x,y)=0确定y=y(x) \Longrightarrow y^{\prime\prime}=-\frac{F_{xx}^{\prime\prime}}{F_y^\prime} \]

\[F(x,y,z)=0确定z=z(x,y) \\ \Longrightarrow A= z_{xx}^{\prime\prime}=-\frac{F_{xx}^{\prime\prime}}{F_z^\prime} \\ \Longrightarrow C= z_{yy}^{\prime\prime}=-\frac{F_{yy}^{\prime\prime}}{F_z^\prime} \\ \Longrightarrow B= z_{xy}^{\prime\prime}=-\frac{F_{xy}^{\prime\prime}}{F_z^\prime} \]

泰勒展开

总论

\[f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n \]

  1. 指数函数 $ e^x $ 在 $ x = 0 $ 处展开

\[e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \]

  1. 正弦函数 $ \sin(x) $ 在 $ x = 0 $ 处展开

\[\sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \]

  1. 余弦函数 $ \cos(x) $ 在 $ x = 0 $ 处展开

\[\cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \]

  1. 对数函数 $ \ln(1 + x) $ 在 $ x = 0 $ 处展开

\[\ln(1 + x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \]

  1. 二项式定理 $ (1 + x)^n $ 的展开

\[(1 + x)^n = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n}{k} x^k = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \cdots \]

线代

A可逆/不可逆

某种意义上A列满秩是A可逆的一种缩小版

n阶矩阵A可逆

  1. \(\iff AB=E \iff |A|\not = 0 \iff r(A)=n \iff A的特征值全不为0\)

  2. \(\iff Ax=0只有零解 \iff A的行（列）向量线性无关\)

  3. \(\iff A的行（列）向量组可以表示任意n维向量，且表示方法唯一\)

    \(\iff Ax=b有唯一解\)

    \(\iff A与E等价\iff A=P_1P_2P_3……P_s是初等阵\)

    \(\iff A^TA,AA^T均为正定矩阵\)

\(A_{m×n}列满秩\)

\(\iff r(A)=n \iff A列向量组线性无关 \iff Ax=0只有零解\)

运算公式

\(A^T、A^*、A^{-1}、|A|\)

  1. \((A^*)^{-1}=(A^{-1})^*;(A^{-1})^T=(A^T)^{-1};(A^T)^*=(A^*)^T\)
  2. \((AB)^T=B^TA^T;(AB)^*=B^*A^*;(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1};|AB|=|A||B|\)
  3. \((A^{-1})^k=(A^k)^{-1};(A^k)^T=(A^T)^k;(A^*)^k=(A^k)^*\)
  4. \((kA^{-1})=\frac 1 k A^{-1};(A^T)^T=A;\) \((A^*)^*=|A|^{n-2}A\)
  5. \(|A^{-1}|=\frac{1}{|A|};|A^T|=|A|;|A^k|=|A|^k;\) \(|A^*|=|A|^{n-1}\)
  6. \((A±B)^T=A^T±B^T\)

\(A^*的性质\)

  1. \(AA^*=A^*A=|A|E\)
  2. \( r(A^*) = \begin{cases} n \iff r(A) = n \\ 1 \iff r(A) = n - 1 \\ 0 \iff r(A) < n - 1 \end{cases} \)
  3. \(a_{ij}=A_{ij} \iff A^*=A^T \iff A^TA=|A|E\iff|A|=0/1\) 平方和

分块矩阵

step1.主对角线原地取逆，副对角线全交换再取逆

step2.取负，左边放行，右边放列

\[\begin{pmatrix} A_m & C\\ O & B_n \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} A^{-1} & -A^{-1}CB^{-1}\\ O&B^{-1}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_m & O\\ C & B_n \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} A^{-1}& O\\ -B^{-1}CA^{-1} & B^{-1}\end{pmatrix} \]

\[\begin{pmatrix} C & A_m \\ B_n & O \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} O & B^{-1} \\ A^{-1} & -A^{-1}CB^{-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} O & A_m \\ B_n & C \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} -B^{-1}CA^{-1}& B^{-1} \\ A^{-1} & O \end{pmatrix} \]

拉普拉斯

\[\begin{vmatrix} A & O\\ * & B \end{vmatrix} = |A||B|;\begin{vmatrix} A & *\\ O & B \end{vmatrix} = |A||B|; \]

\[\begin{vmatrix} * & A_m\\ B_n & O \end{vmatrix} = (-1)^{mn}|A||B|; \begin{vmatrix} O & A_m\\ B_n & * \end{vmatrix} = (-1)^{mn}|A||B|; \]

初等矩阵逆

  1. 类型 1：行交换

    \[E_{12} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad E_{12}^{-1} = E_{12} \]

  2. 类型 2：行倍乘

    \[E_i(k) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & k & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad E_i(k)^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \frac{1}{k} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{pmatrix} \]

  3. 类型 3：行加法

    \[E_{i \leftarrow j}(k) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & k & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad E_{i \leftarrow j}(k)^{-1} = E_{i \leftarrow j}(-k) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & -k & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{pmatrix} \]

AB=0/AB=C

AB=0

  1. \(r(A)+r(B)≤n （n是A的列，B的行）\)
  2. \(A和B为n阶矩阵，且A±B=P（可逆）,则r(A)+r(B)=n\)
  3. \(\iff B的每一列都是Ax=0的解\)
  4. \(\iff B的列向量与A的行向量两两正交\)
  5. \(A列满秩则AB=0 \iff B=0\)

AB=C

  1. C的列向量可以有A的列向量线性表示
  2. C的行向量可以有B的行向量线性表示
  3. 若B可逆，C的列向量和A的列向量可相互表示（等价）
  4. 若A可逆，C的行向量和B的行向量可相互表示（等价）
  5. \(\iff B的每一列都是Ax=C的解\)
  6. \(A列满秩则AB=AC \iff B=C\)

AB=BA

同解公共解

行等价

A经过有限次的初等行变换化为B

​ \(\iff A与B行等价 \iff Ax=0与Bx=0同解\)

​ \(\iff \exist 可逆矩阵P使得PA=B(左行变换)\)

方程组同解

  1. \(Ax=0与Bx=0同解 \iff A与B行等价 \iff r(A)=r(B)= r\begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix}\)

  2. \(Ax=\alpha与Bx=\beta同解 \iff (A,\alpha)与(B,\beta)行等价 \iff r(A,\alpha)=r(B,\beta)= r\begin{pmatrix} A,\alpha \\ B,\beta \end{pmatrix}\)

  3. \(Ax=0的解都是Bx=0的解 \Longrightarrow Ax=0与\begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix}x=0同解\) B的行可由A的行线性表示（由谁表示，谁写两遍）

  4. \(r(A)=r(B)且Ax=0的解都是Bx=0的解 \Longrightarrow Ax=0与Bx=0同解\)

  5. \(A^TAx=0与Ax=0同解、A^nx=0与A^{n+1}x=0同解、PAx=0与Ax=0同解（P列满秩）\)

方程组公共解

A的行可由B的行线性表示

\(\iff Bx=0的解都是Ax=0的解\) 反着说

\(\iff r(B)=r\begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix}\) 由谁表示，谁写两遍

\(\Longrightarrow r(A)≤r(B)\) 被表示的秩不大

秩

  1. \(|r(A)-r(B)|≤r(AB)≤r(A,B)≤r(A)+r(B)\) 秩越乘越小，越拼越大，拆开加最大

  2. \(r(AB)<r(B)\longrightarrow r(A)<n (如果A列满秩是不会影响B的秩的)\)

  3. \(AB=AC,B\not =C \longrightarrow r(A)<n(如果A列满秩，B=C)\)

秩一矩阵

  1. \(\iff A=\alpha\beta^T (一列乘一行)\)
  2. \(tr(A)=\beta^T \alpha,A^n=tr(A)^{n-1}A,\lambda_i=tr(A)、n-1个0\)
  3. \(tr(A) \not =0,A可相似对角化\)

特征值特征向量

矩阵 \(A\) \(kA\) \(A^k\) \(f(A)\) \(A^{-1}\) \(A^*\) \(P^{-1}AP\) \(A^T\)
特征值 \(\lambda\) \(k\lambda\) \(\lambda^{k}\) \(f(\lambda)\) \(\frac{1}{\lambda}\) \(\frac{∣A∣}{\lambda}\) \(\lambda\) \(\lambda\)
对应特征向量 \(\alpha\) \(\alpha\) \(\alpha\) \(\alpha\) \(\alpha\) \(\alpha\) \(\alpha\) \(\text{------}\)

\(其中A与f(A)、A^{-1}、A^*关系好，不能跟A^T一起玩\)

本质上还是是否公用一个\(\alpha\)的问题

相似

充要条件

\[P^{-1}AP=B（P为可逆矩阵） \]

必要条件

\[\lambda_A = \lambda_B、 |\lambda E-A|=|\lambda E-B|、 tr(A)=tr(B)、 r(A)=r(B)、 …… \]

相似对角化

\[P^{-1}AP=\Lambda \]

  1. 充要条件

    • 有n个线性无关的特征向量

      若特征值k是n重的，则当且仅当\( A = kE = K \cdot E = \begin{pmatrix} K & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & K & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & K & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & K \\ \end{pmatrix} \)时才可相似对角化

    • k重特征值有k个线性无关的特征向量

      \(n-r(\lambda_k E-A)=k\)

  2. 充分条件

    • 由n个不同特征值
    • 是实对称矩阵

  3. 实对称矩阵

    • 必可相似对角化 且 可用正交矩阵进行相似对角化 \(Q^TAQ=\Lambda\)

      • Q是A的正交单位特征向量所拼成的
      • 施密特正交化公式

\[ \beta_1 = \alpha_1\\ \beta_2 = \alpha_2 - \frac{(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)} \beta_1\\ \beta_3 = \alpha_3 - \frac{(\alpha_3, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)} \beta_1 - \frac{(\alpha_3, \beta_2)}{(\beta_2, \beta_2)} \beta_2 \]

  • 不同特征值的特征向量必正交

二次型

\[f=x^TAx\\ A是二次型矩阵必须是实对称，若不是则f的二次型矩阵为\frac{A+A^T}{2} \]

标准型和规范型

本质上就是换元法

标准型不把系数化为1、-1、0

  1. 配方法（可逆变换）

    常用于指定了系数的，或指定了变换的，有时候不一定要配方，只要可逆变换就行

  2. 正交变换法（合同变换）

​ \(x=Qy（Q为正交矩阵）\)

​ \(f=(Qy)^TA(Qy)\longrightarrow f=y^TQ^TAQy\longrightarrow f=y^TBy_{令Q^TAQ=B} 可见此时B和A是合同的\)​

​ \(做正交变换需将所求出的Q变成正交矩阵，所以需要进行正交化单位化\)​

​ \(正交变换后的标准型，系数就是特征值\)

合同

  1. 充要条件

    A B的正负惯性指数一致

  2. 实对称矩阵的相似合同等价

    \(相似\longrightarrow合同\longrightarrow等价\)

posted @ 2024-11-02 00:05  Ofe1  阅读(79)  评论(0)    收藏  举报