通配符优化 dp 学习笔记

闵可夫斯基和 优化 dp

\(\left( \min/\max,+\right)\) 卷积

形如：

\[f_i=\max ^i_{j=0}/\min ^i_{j=0} {g_j+h_{i-j}} \]

的式子被称为 \(\left( \min/\max,+\right)\) 卷积。

闵可夫斯基和

以 \(\min\) 为例，要求 \(g,h\) 形成下凸包，对 \(g,h\) 进行差分（由于下凸包，\(\Delta g\) 与 \(\Delta h\) 显然是不增的），那么 \(f_i\) 相当于在 \(\Delta g\) 和 \(\Delta h\) 中选两个前缀（差分数组的前缀和是原数组，是不是很神奇（？）），要求长度和为 \(i\) 且使得和最小，归并排序后取前 \(i\) 个即可。

\(\max\) 同理。

优化 dp 时常见的应用是使 \(g\) 为 \(f_{i-1}\)，\(h\) 为权值函数。

slope trick 优化 dp

slope trick 可以用于快速维护分段一次、连续的凸性函数。

它的思想是维护斜率而非函数本身，当斜率的取值范围小时维护拐点，当定义域较窄时可以维护斜率序列（用 set 全存起来就好了）

可以维护的操作：

1. 相加：将最优决策点、定义域左右端点直接加上权值。

2. 取前/后缀 min：去掉一部分。

3. 求 min：维护 \(k=0\) 的决策点（区间）即可。

4. 全局平移/翻转：单独处理最优决策点后全局打标记。

以下为一个例子：

st.insert({0,k});
int L=0,siz=k,ans=0;
//ans 为最优决策点，L 为定义域左端点，siz 为定义域大小
for(int i=1;i<=n;i++){
    L+=a[i]-b[i];
    siz+=b[i]*2;
    ans+=b[i]*c[i];
    st.insert({c[i],b[i]});
    st.insert({-c[i],b[i]});
    while(R>k){//求min
        auto t=st.end();
        t--;
        zxc now=*t;
        st.erase(t);
        int shan=min(R-k,now.x);
        siz-=shan;
        now.x-=shan;
        if(now.x){
            st.insert(now);
        }
    }
    while(L<0){//求min
        auto t=st.begin();
        zxc now=*t;
        st.erase(t);
        int shan=min(0-L,now.x);
        L+=shan;
        siz-=shan;
        ans+=now.k*shan;
        now.x-=shan;
        if(now.x){
            st.insert(now);
        }
    }
}