后缀数组与马拉车学习笔记

后缀数组与马拉车学习笔记

串串这种细节特别多的比较弱啊，加练加练。

这篇学了 UKE 的标题编号方法看看会不会让观感更好

1 后缀数组

1.1 定义

后缀和子串这些基本定义就不放了吧（

• 排名：字典序排名，空位补 \(0\)（注意这个 \(0\) 是 ASCll 的 \(0\) 而非字符 \(\text 0\)）。

• 后缀的下标：后缀的起始位置的下标。

• \(sa_i\)：所有后缀中排名为 \(i\) 的后缀的下标。

• \(rk_i\)：下标为 \(i\) 的后缀在所有后缀中的排名。

• \(\text{lcp}(i,j)\)：下标为 \(sa_i\) 与 \(sa_j\) 的后缀的最长公共前缀的长度。

• \(h(i)\)：\(\text{lcp}(i,i-1)\)

1.2 实现

我们先考虑如何求 \(sa\) 和 \(rk\)。

首先有一个显然的性质：\(sa_{rk_i}=rk_{sa_i}=i\)，这个实在是太显然了，我们考虑先求 \(sa\)，然后用这个性质求 \(rk\)。

我们发现对于两个长度为 \(2n\) 的字符串 \(s,t\)，\(s>t\) 可以转化为 \(s[1,n]>t[1,n]\) 或 \(s[1,n]=t[1,n]\) 且 \(s[n+1,2n]>t[n+1,2n]\)。

我们注意到这就是一个经典的二元组排序，只要将 \([1,n]\) 设为第一关键字，\([n+1,2n]\) 设为第二关键字排序后即可得到排名，而这两个关键字本身也可以分治求解，注意到这个东西的复杂度显然是 \(\log n\) 的，套上 sort 的 \(n\log n\) 就能 \(n\log^2n\) 解决，但是现在这个东西常数大而且本身复杂度劣，考虑优化。

我们现在的瓶颈显然是 sort，考虑将其换成基数排序，这里默认大家都会了，显然可以省去一个 \(\log\)。

代码细节有点\(\huge 多\)，但是我懒得贴代码了，读者加油吧（？）

然后是 \(h\) 和 \(\text{lcp}\)。

对于 \(h\)，有这样一个性质：

\(h_{rk_i}\ge h_{rk_{i-1}}-1\)。

证明：

当 \(h_{rk_{i-1}}\le1\) 时，上式显然成立。

否则因为 \(h_{rk_{i-1}}=\text {lcp}(sa_{rk_{i-1}},sa_{rk_{i-1}-1})\)，注意到这里的 \(sa_{rk_{i-1}}=i-1\)，我们设这里的 \(\text {lcp}\) 为 \(\text{aA}\)（小写字母为字符，大写字母为字符串或空），后缀 \(i-1\) 为 \(\text{aAD}\)，后缀 \(sa_{rk_{i-1}-1}\) 为 \(\text{aAB}\)。

也就是说后缀 \(i\) 是 \(\text{AD}\)，后缀 \(sa_{rk_{i-1}-1}+1\) 为 \(\text{AB}\)。

而又因为 \(sa_{rk_{i}-1}\) 的排名只比 \(i(sa_{rk_{i}})\) 低一位，又有 \(\text{AB}<\text{AD}\)，所以有 \(\text{AB}\le sa_{rk_{i}-1}< \text{AD}\) 也就是说 \(i\) 与 \(sa_{rk_{i}-1}\) 有共同的前缀 \(\text A\)。

于是 \(h_{rk_{i}}=\text{lcp}(sa_{rk_{i}},sa_{rk_{i}-1})=\text{lcp}(i,sa_{rk_{i}-1})\ge |A|=h_{rk_{i-1}}-1\)，得证。

对于 \(\text{lcp}\)，有以下几个性质：

• \(\text{lcp}(i,j)=\text{lcp}(j,i)\)（显然）

• \(\text{lcp}(i,i)=n-sa[i]+1\)（定义得）

• \(\text{lcp}(i,j)=\min(\text{lcp}(i,k),\text{lcp}(k,j))(i\le k\le j)\)

  这个得证一下：

  设 \(\text {lcp}(i,j)=q\)，\(\min(\text{lcp}(i,k),\text{lcp}(k,j))=p\)。

  • 首先如果你是人类应该能看出 \(q\ge p\)。

  • 接下来当 \(q>p\) 时显然有 \(q\ge p+1\)，也就是说下标为 \(sa_i\) 的后缀和下标为 \(sa_j\) 的后缀中前 \(p+1\) 个字符都一样。

    但是因为 \(p\) 是 \(\min(\text{lcp}(i,k),\text{lcp}(k,j))\)，所以下标为 \(sa_k\) 的后缀的第 \(p+1\) 位至少和它们两个中一个的第 \(p+1\) 位不一样。

    而因为 \(i\le k\le j\)，所以如果下标为 \(sa_j\) 和下标为 \(sa_i\) 的后缀的第 \(p+1\) 位一样而和下标为 \(sa_k\) 的后缀的第 \(p+1\) 位不一样那么它们两个的字典序中显然就不会夹着个 \(k\) 了，所以它们两个的第 \(p+1\) 位不一样，得出 \(q\le p\)，从而有 \(q=p\)。

• \(\text{lcp}(i,j)=\min(h_k)\forall k\in i<k\le j\)（由上一条易扩展得）

1.3 例题

1.3.1 [JSOI2007] 字符加密

题目大意

原题晰。

题解

考虑把这个β循环断开，倍长字符串后跑板子即可。

1.3.2 [洛谷P2408] 不同子串个数

题目大意

原题晰。

题解

考虑正难则反，计算相同子串的数量后减去 \(\sum_{i=1}^nh_i\) 即可

1.3.3 [ural1297] Virtual Judge

题目大意

求一个字符串的最长回文子串。

题解

这个题怪显然的，把这个字符串倒着拼在它本身后面之后跑板子，然后这样匹配：

细节有点多，记得分类讨论奇数和偶数长度，中间还要有一个分界符比如 # 之类的。

1.3.4 [POI 2000] 公共串

题目大意

原题晰。

题解

先把所有串都拼到一起，然后考虑求出 \(h\) 后问题转化为找连续的一段使得至少每个串都出现一次，用一个长得很像莫队的双指针维护即可。

1.3.5 [USACO06DEC] Milk Patterns G

题目大意

求一个字符串中至少出现了 \(K\) 次的子串的最长长度。

题解

注意到以这种子串开头的后缀肯定是相邻的，所以问题转化为对于所有长度为 \(K-1\) 的子序列中 \(h\) 的最小值最大是多少，那单调队列或者随便啥数据结构瞎维护即可。

1.3.6 [SDOI2008] Sandy 的卡片

题目大意

公共串，但是如果一个串整体加或减后能匹配也算匹配。

题解

差分后跑 1.3.4 即可。（诶这个编号还真有用）

1.3.5 [SCOI2012] 喵星球上的点名

题目大意

原题晰。

题解

\(h\) 数组预处理后考虑按 \(sa\) 排序后预处理出能匹配到的姓/名，然后莫队瞎搞即可。

1.3.6 [AHOI2013] 差异

题目大意

原题晰。

题解

考虑求出所有 \(\text{lcp}\) 后用总长度 \(n\times(n+1)\times(n-1)\) 减，这就是一个显然的单调栈问题了。

1.3.7 [bzoj3230] 相似子串

题目大意

原题晰。

题解

细节\(\small{\huge\text巨}\)多的一道题啊。

自己手膜时也能发现的一个性质是一个后缀的前缀的排名是连续的，然后就这样去编号就可以了，接着二分找合法区间即可。

1.3.8 [NOI2015] 品酒大会

题目大意

原题晰。

题解

对 \(h\) 降序排序后一个插入，用并查集维护这个过程即可。

2 manacher

用于求解回文问题及其变种。

2.1 实现

我们首先规定对于一个回文串，它的中心就是 \(\lfloor\frac{l+r+1}{2}\rfloor\) （即偶数长度回文串中心是中间靠右）

接着设 \(d\) 为以 \(i\) 作为中心的奇数长度回文串的个数，只记录奇数的原因是这样处理而且对于一个字符串 \(\text{abacbab}\) 可以将其改为 \(\text{\#a\#b\#a\#c\#b\#a\#b\#}\)，之后以 \(\text{\#}\) 为中心的回文串对应到原串上就是偶数长度的了。

我们动态维护最靠右的回文串，如果当前点在这个回文串内就可以直接从它的对应点开始扩展，否则就是它自己暴力扩展。

注意点最靠右回文串的右端点是不降的，所以复杂度线性。

2.2 例题

2.2.1 [POI 2010] ANT-Antisymmetry

题目大意

原题晰。

题解

把判断回文的条件改为不等即可。

2.2.2 神奇项链

题目大意

求最少用多少个回文子串可以完全覆盖原串。

题解

考虑贪心，维护 \(r_i\) 表示中心最右的能包含 \(i\) 的回文子串的中心，然后不断这样跳就行了。

2.2.3 [国家集训队] 拉拉队排练

题目大意

原题晰。

题解

把 \(d\) 搞到桶里，然后做后缀和用快速幂更新答案即可。

2.2.4 [ZJOI2009] 对称的正方形

题目大意

找到有多少个上下对称且左右对称的正方形。

题解

上下左右分别处理，用 ST 表维护能拓展长度的最小值，二分出最大的合法长度，统计答案时对上下拓展长和左右拓展长取 \(\min\) 即可。