[Ynoi2019] 魔法少女网站

• 题意

  给定一个长为 \(n\) 的序列 \(\{a\}\) ，支持：

  1. 单点修改。
  2. 查询区间 \([l,r]\) 最大值小于等于 \(x\) 的子区间个数。

  \(n,m\le 3\times 10^5,a_i\in [1,n]\)

  3.5s,64MB​

• 题解

  容易发现，对于查询操作，我们如果把 \(\le x\) 的数设为 \(1\) ，其余为 \(0\) ，那么一个长为 \(len\) 的极长 \(1\) 连续段的贡献为 \(\frac{len(len+1)}{2}\) 。

  那么暴力即为从左到右模拟整个过程，维护后缀 \(1\) 连续段的长度。

  考虑优化这个模拟过程，不难想到序列分块。

  设块长为 \(B\) ，那么一个块内本质不同的答案只有 \(O(B)\) 个。

  对于查询区间 \([l,r]\) ，边角暴力。对于中间的块，我们需要维护 \(\le x\) 的 \(1\) 连续段前缀长度，后缀长度，以及除去前后缀的块内贡献。

  如果我们对每个块，从小到大处理每个元素，利用链表或并查集等维护 \(1\) 连续段，能做到一次 \(O(B)\) 求出一个块所有本质不同的答案。

  那么我们预处理直接对块内排序，修改就类似插入排序的方式维护排序后的数组，块内信息暴力重构，那么预处理复杂度是 \(O(n\log n)\) ，修改一次复杂度是 \(O(B)\) 。

  询问对于一个块我们还需要找到 \(x\) 的位置，复杂度一次是 \(O(B+\frac{n}{B}\log B)\) 。

  不难得出 \(B=\sqrt{n\log n}\) 最优，总复杂度 \(O(n\log n+m\sqrt{n\log n})\) 。

  然而这大概率不能通过这道题，我们继续优化。

  注意到瓶颈在于找到 \(x\) 在一个块内的位置，这是一个前缀和问题，我们有 \(O(\sqrt n)-O(1)\) 的值域分块，而空间限制导致我们不能对每个块开一个前缀和数组，那么容易想到离线，逐块处理，每次利用 \(O(\sqrt n)-O(1)\) 的值域分块做到 \(O(1)\) 查询位置。

  我们来分析复杂度。

  预处理不变： \(O(n\log n)\) 。

  多了新操作每个块的处理： \(O(\frac{n^2}{B})\) 。

  修改要增加一个值域分块： \(O(m(B+\sqrt n))\) 。

  查询把 \(\log B\) 去掉： \(O(m(B+\frac{n}{B}))\) 。

  那么 \(B=\sqrt n\) 最优，总复杂度 \(O((n+m)\sqrt n)\) 。