算法--分治算法

概念：把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。

如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n ，且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。

分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：

 　　1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决

 　　2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。

 　　3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；

 　　4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。

分治法的基本步骤

　分治法在每一层递归上都有三个步骤：

 　　分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；

 　　解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题；

 　　合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

  　  它的一般的算法设计模式如下：

 　　Divide-and-Conquer(P)

 　　1. if |P|≤n0

 　　2. then return(ADHOC(P))

 　　3. 将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,...,Pk

 　　4. for i←1 to k

 　　5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 递归解决Pi

 　　6. T ← MERGE(y1,y2,...,yk) △ 合并子问题

 　　7. return(T)

 　　其中|P|表示问题P的规模；n0为一阈值，表示当问题P的规模不超过n0时，问题已容易直接解出，不必再继续分解。ADHOC(P)是该分治法中的基本子算法，用于直接解小规模的问题P。因此，当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,...,yk)是该分治法中的合并子算法，用于将P的子问题P1 ,P2 ,...,Pk的相应的解y1,y2,...,yk合并为P的解。

 

下面是一个分治算法去最值的例子：

/*** 编译环境TC ***/

 

　　 #include <stdio.h>

 　　#include <stdlib.h>

 　　#include <limits.h>

 　　#define M 40

 

　　/* 分治法获取最值 */

 　　void PartionGet(int s,int e,int *meter,int *max,int *min){

 　　/* 参数:

  　　* s 当前分治段的开始下标

 　　 * e 当前分治段的结束下标

 　 　* meter 表的地址

 　 　* max 存储当前搜索到的最大值

 　 　* min 存储当前搜索到的最小值

  　　*/

 

　　　　 int i;

 　　　　if(e-s <= 1){ /* 获取局部解，并更新全局解 */

 　　　　　　if(meter[s] > meter[e]){

 　　　　　　　　if(meter[s] > *max)

 　　　　　　　　　　*max = meter[s];

 　　　　　　　　if(meter[e] < *min)

 　　　　　　　　　　*min = meter[e];

 　　　　　　}else{

 　　　　　　　　if(meter[e] > *max)

 　　　　　　　　　　*max = meter[e];

 　　　　　　　　if(meter[s] < *min)

 　　　　　　　　　　*min = meter[s];

 　　　　　　}

 　　　　　　return ;

 　　　　}

 

　　　　i = s + (e-s)/2; /* 不是子问题继续分治,这里使用了二分，也可以是其它 */

 　　　　PartionGet(s,i,meter,max,min);

 　　　　PartionGet(i+1,e,meter,max,min);

 　　}

 

　　int main(){

 　　　　int i,meter[M];

 　　　　int max = INT_MIN; /* 用最小值初始化 */

 　　　　int min = INT_MAX; /* 用最大值初始化 */

 　　　　printf("The array's element as followed:\n\n");

 　　　　rand(); /* 初始化随机数发生器 */

 　　　　for(i = 0; i < M; i ++){ /* 随机数据填充数组 */

 　　　　meter[i] = rand()%10000;

 　　　　if(!((i+1)%10)) /* 输出表的随机数据 */

 　　　　　　printf("%-6d\n",meter[i]);

 　　　　else

 　　　　　　printf("%-6d",meter[i]);

 　　　　}

 　　　　PartionGet(0,M - 1,meter,&max,&min); /* 分治法获取最值 */

 　　　　printf("\nMax : %d\nMin : %d\n",max,min);

 　　　　system("pause");

 　　　　return 0;

 　　}