dp背包总结

动态规划背包问题详解：0-1背包与完全背包

引言

背包问题是动态规划中的经典问题，也是面试中高频考察的算法模型。根据物品是否可以被重复选取，背包问题主要分为0-1背包和完全背包。理解这两种背包问题的原理、递推公式、初始化以及遍历顺序，是解决一系列相关题目（如分割等和子集、最后一块石头的重量、目标和、零钱兑换等）的基础。

本文将从理论基础出发，详细讲解0-1背包和完全背包的解法，并对比两者的核心区别。

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一、0-1背包问题

1.1 问题描述

有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，价值是value[i]。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

例如：

• 背包最大重量：4
• 物品：
  • 物品0：重量1，价值15
  • 物品1：重量3，价值20
  • 物品2：重量4，价值30

问背包能背的最大价值是多少？

1.2 二维dp数组解法

1.2.1 确定dp数组含义

dp[i][j] 表示从下标为[0..i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

1.2.2 递推公式

对于物品i，有两种情况：

• 不放物品i：dp[i][j] = dp[i-1][j]
• 放物品i：dp[i][j] = dp[i-1][j - weight[i]] + value[i]

取两者最大值：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - weight[i]] + value[i])

1.2.3 初始化

• dp[i][0] = 0（背包容量为0，价值为0）
• 对于第一行i=0：
  • 当j < weight[0]时，dp[0][j] = 0
  • 当j >= weight[0]时，dp[0][j] = value[0]

其他位置可以初始化为0（因为后续会被覆盖）。

1.2.4 遍历顺序

外层循环遍历物品，内层循环遍历背包容量。先遍历物品还是先遍历背包都可以，但通常先遍历物品更好理解。注意内层循环从小到大遍历。

for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
        if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i-1][j];
        else dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

1.2.5 举例推导

以上述例子，最终dp[2][4] = 35。

1.3 一维dp数组（滚动数组）解法

为了优化空间，可以将二维数组压缩为一维数组。因为dp[i][j]只依赖于上一行的数据，我们可以只用一个一维数组，在遍历时从后向前更新，确保每个物品只被放入一次。

1.3.1 确定dp数组含义

dp[j] 表示容量为j的背包，所背物品的最大价值。

1.3.2 递推公式

dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])

1.3.3 初始化

dp[0] = 0，其他非0下标也初始化为0（因为价值都是正数）。

1.3.4 遍历顺序

外层遍历物品，内层遍历背包容量且必须倒序。倒序是为了保证每个物品只被放入一次（如果正序，同一物品可能被多次放入）。

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量，倒序
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

1.3.5 举例

用物品0、1、2依次更新，最终dp[4] = 35。

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二、完全背包问题

2.1 问题描述

与0-1背包唯一不同：每件物品都有无限个（可重复放入）。背包容量为W，物品重量和价值同上，求最大总价值。

2.2 一维dp数组解法

完全背包也可以使用一维dp数组，但遍历顺序需要改变。

2.2.1 递推公式

与0-1背包一样：

dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])

2.2.2 初始化

同样，dp[0] = 0，其他为0。

2.2.3 遍历顺序

外层遍历物品，内层遍历背包容量且必须正序。因为物品可以重复添加，所以需要从小到大的顺序，使得同一物品可以多次累加。

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量，正序
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

2.3 关于两层for循环的先后顺序

对于纯完全背包问题（即求最大价值），先遍历物品再遍历背包与先遍历背包再遍历物品都是可以的。因为无论哪种顺序，dp[j]的计算都依赖于之前的状态，且最终结果相同。

例如先遍历背包再遍历物品：

for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        if (j - weight[i] >= 0)
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

但需要注意：当题目要求求组合数或排列数时，遍历顺序就至关重要。

• 求组合数（不讲究顺序）：外层遍历物品，内层遍历背包（如零钱兑换II）
• 求排列数（讲究顺序）：外层遍历背包，内层遍历物品（如组合总和IV）

这一点在解决具体题目时需要仔细区分。

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三、0-1背包与完全背包的对比

特性	0-1背包	完全背包
物品数量	每个物品只能用一次	每个物品可以用无限次
一维dp遍历顺序	内层循环倒序	内层循环正序
两层for循环顺序	只能先遍历物品，再遍历背包（一维）	先物品后背包或先背包后物品均可（纯最大价值）
典型应用	分割等和子集、最后一块石头的重量II	零钱兑换、完全平方数、单词拆分

四、总结

背包问题的核心在于递推公式和遍历顺序的理解。对于0-1背包，一维数组必须倒序遍历以保证每个物品只取一次；对于完全背包，正序遍历允许重复选取。此外，当问题涉及“装满背包有多少种方式”时，还需要根据组合或排列要求调整两层循环的先后顺序。

掌握了这两种基础背包模型，就能解决LeetCode上大量的动态规划题目。建议读者在学习过程中，多动手推导dp数组，理解每一步的状态转移，这样才能真正融会贯通。

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希望这篇博客能帮助你彻底理清0-1背包和完全背包的精髓！如有疑问，欢迎留言讨论。