计算机视觉基础——几何基元中的2D直线叉积问题

新学期选了一门计算机视觉，想着上课前先看看书预习一下，然后就在基础数学知识这部分看到了这个结论：

使用齐次坐标时，我们可以如下计算两条直线的交点 \(\tilde{x}=\tilde{l_1}\times\tilde{l_2}\)

补充一下，\(\tilde{l}\)是2D直线的齐次坐标表示。对于直线l：\(ax+by+c=0\)，齐次坐标\(\tilde{l}=(a,b,c)\)。另外\(\tilde{x}\)是2D坐标\(\mathbf{x}=(x,y)\)的齐次坐标，关系有\(\tilde{x}=(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{w})=\tilde{w}(x,y,1)\)

本来其实是个很简单的结论，纸上算两笔就推好了，但是我就是钻牛角尖想知道凭什么一个2D的直线可以转换到3D的向量空间去做叉积，还能得到交点的信息。在网上搜寻良久未找到一个满意的答案，最后还是chatgpt给我讲明白了，下面就是更加直观的理解：

首先，对于一个平面上的点 (x, y)，我们可以考虑它是否在直线\(ax+by+c=0\)上。如果这个点在直线上，那么\(ax+by+c=0\)必然成立，也就是 (x, y) 满足这个方程。如果不在直线上，那么\(ax+by+c\)的值将不等于零。

齐次坐标 (a, b, c) 有一个重要的性质：对于平面上的任意一点 (x, y)，如果 (a, b, c) 是直线\(ax+by+c=0\)的齐次坐标，那么 (a, b, c) 这个向量与 (x, y, 1) 这个向量的内积（点乘）等于零：\((a,b,c)\cdot (x,y,1)=ax+by+c=0\)

因此我们应当把齐次坐标视为一种约束条件，当某个齐次坐标点(x,y,1)与之点积为0时，便认为这个点在直线上

假设有两条2D直线，分别表示为：

1. 第一条直线：a1x + b1y + c1 = 0，对应的齐次坐标表示为 L1 = (a1, b1, c1)。
2. 第二条直线：a2x + b2y + c2 = 0，对应的齐次坐标表示为 L2 = (a2, b2, c2)。

要找到这两条直线的交点，我们可以使用叉乘的方法。首先，将这两个齐次坐标向量进行叉乘操作，得到交点的齐次坐标表示为 P：

P = L1 × L2

交叉乘积 P 可以通过以下方式计算：

P = (b1c2 - b2c1, c1a2 - c2a1, a1b2 - a2b1)

为什么这个向量 P 表示交点呢？这是因为它满足齐次坐标的定义。考虑点 (x, y) 在两条直线上的齐次坐标分别为 (a1, b1, c1) 和 (a2, b2, c2)。如果这两个点是交点，那么它们必须同时满足两条直线的方程，即：

(a1, b1, c1) · (x, y, 1) = 0

(a2, b2, c2) · (x, y, 1) = 0

注意到这里是两个点积，点积为0意味着垂直，那么我们采用叉积来求(x, y, 1)就很直观了，因为叉积的意义就是找出同时垂直于(a1, b1, c1)和(a2, b2, c2)的向量

叉积的结果P = (b1c2 - b2c1, c1a2 - c2a1, a1b2 - a2b1)是齐次坐标，还需转为笛卡尔坐标，方法就是把它变成(x, y, 1)的形式，也就是都除以最后一个分量

x = (b1c2 - b2c1) / (a1b2 - a2b1)

y = (c1a2 - c2a1) / (a1b2 - a2b1)

总结：这个问题的直观证明有两个要点，一是要理解2D直线齐次坐标的约束意义，二是要理解我们使用叉积仅仅是为了找出那个同时垂直的向量，这个向量可以进一步地转化为(x, y, 1)的形式，对应了直线的交点

（这里可以转化成x,y,1的形式，还因为齐次坐标的比例不变性质，有了这个性质转化的操作才是OK的）