杂题选做 2026 Oct

P3338

考虑翻转序列以凑成卷积的形式，然后 FFT 做。

P9407

神仙题。考虑

\[\int_0^{\pi}l\lvert\cos\theta\rvert d\theta = 2l \]

也就是说，每条线段在直线 \(y=\tan\theta\) 上的投影长度在 \(\theta\in[0,\pi]\) 上的定积分为 \(2l\)。于是考虑均匀取样若干角度映射为一维问题近似求出答案，这个操作被称为黎曼和。

P5491

二次剩余模版。

1. 对于奇素数 \(p\)，二次剩余 \(n\) 的数量恰为 \(\frac{p-1}{2}\) 个，非零非二次剩余的数量也恰为 \(\frac{p-1}{2}\) 个。

2. \(a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\Longleftrightarrow n\) 是二次剩余

假如我们要找 \(n\) 的二次剩余，那么我们随机检验找到一个 \(a\) 使得 \(a^2-n\) 是非二次剩余。类比于虚数单位，定义 \(i^2\equiv a^2-n\)，随后有结论：

\(\pm(a+i)^{\frac{p+1}{2}}\) 是 \(n\) 的二次剩余。

证明：\((a+i)^{p+1}\equiv(a+i)(a^p+i^p)\equiv(a+i)(a-i)\equiv n\)。

P15649

设 \(dp_{i,j}\) 表示点 \(i\) 向下延申重链长度为 \(j\) 的概率，枚举儿子及其重链长度，会发现这就是背包转移，每次统计节点答案需要可撤销背包，也就是多项式除法，最低位不一定非 \(0\) 那就平移一下。

P3307

第一步自然是莫反，

\[\sum_{i=1}^a\sum_{j=i}^a\sum_{k=j}^a[\gcd(i,j,k)=1]=\sum_{d=1}^{a}\mu(d)\frac{\lfloor\frac{a}{d}\rfloor(\lfloor\frac{a}{d}\rfloor+1)(\lfloor\frac{a}{d}\rfloor+2)}{6} \]

第二步就是 Burnside 引理，轨道大小等于群内元素不动点平均数，也就是 \(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nf(\gcd(n,i))\)，即 \(\frac{1}{n}\sum_{d\mid n}f(d)\varphi({\frac{n}{d}})\)。

考虑这个 f 怎么算。\(x\mid n\) 时，\(f(x)\) 的含义是“染 \(m\) 种颜色且相邻不同色的长度为 \(x\) 的环的数量”（不考虑旋转）。分类讨论 \(1\) 和 \(x-1\) 的颜色是否相同：相同贡献为 \((m-1)f(x-2)\)，不相同贡献为 \((m-2)f(x-1)\)。于是得到转移方程 \(f(x)=(m-2)f(x-1)+(m-1)f(x-2)\)。显然 \(f(1)=0，f(2)=m(m-1)\)。

解常系数齐次线性递推：

1. 写特征方程；
2. 求特征根；
3. 不同根写
   \[C_1r_1^n+C_2r_2^n+\cdots; \]

4. 重根要乘多项式，例如二重根写
   \[(C_1+C_2n)r^n; \]

5. 用初值确定常数。

对于此题，特征方程：\(r^2=(m-2)r+(m-1)\)

特征根：\(r_1=m-1,r_2=-1\)

设通项公式为 \(f(x)=A(m-1)^x+B(-1)^x\)

代入初始值得 \(f(1)=A(m-1)-B=0,f(2)=A(m-1)^2+B=m(m-1)\)

解得 \(A=1,B=m-1\)。于是通项公式为 \(f(x)=(m-1)^x+(m-1)(-1)^x\)。

注意了，还有 \((10^9+7)\mid n\) 的情况，要把 \(mod\) 变成 \((10^9+7)^2\)，这样 \(mod\nmid n\)。

最后先把答案除以 \((10^9+7)\)（因为答案如果不除以 \(n\) 一定是 \(n\) 的倍数），再除以 \(\frac{n}{10^9+7}\) 对于 \(10^9+7\) 的逆元。

P9537

P7843

区间 2-SAT，注意到是无向边，那么用并查集就能维护。考虑到对称性，每次加边任选一个端点与其对应反点判断连通性即可。然后注意到每次肯定选择向右跳最远，而且显然有决策单调性，于是考虑决策单调性分治预处理，查询时倍增。分治时有个 trick，每次进入区间时保证 \((r,L)\) 已经加入并查集，不重复加可以保证复杂度。用可撤销并查集维护，时间复杂度 \(O(m\log m\log n+q\log m)\)。

P17570

P11428

P11406

神秘卡空题，考虑十六进制倍增即可。

P17316

QOJ964

神仙题。转化为 \(\max\{i\mid\sum_{j=l}^r[a_j\le i]>i\}\)，这属于“不好维护答案但容易检验”的查询，可以考虑两种方式：整体二分和按序检验答案，这里考虑后一种。注意到对于 \(l\le l_1\le r_1\le r\)，有 \(ans_{l_1,r_1}\le ans_{l,r}\)，于是考虑从大到小扫答案，维护极大无包含区间集合。实现时使用线段树维护，询问按 \(r\) 挂在树上，用栈维护，栈顶 \(l\) 最小，同时维护 set 用来求当前活跃询问的前驱后继，删除后不断找出 \(r\in(r_1,r_2)\) 内左端点最小中右端点最大的加入。