杂题选做 2026 Aug

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糖。钦定有 \(i\) 个黑子 \(f_i\)，恰好有 \(i\) 个黑子 \(g(i)\)。

\[f(n)=\sum_{i\ge n}\binom ing(i) \Longleftrightarrow g(n)\sum_{i\ge n}(-1)^{i-n}\binom inf(i) \]

\[g(0)=\sum_{i\ge 0}(-1)^if(i) \]

\[f(i)=\binom{n-3i}{i}(n-4i)!\sum_{\substack{x_1\le a-i\\x_2\le b-i\\x_3\le c-i\\x_4\le d-i}}[x_1+x_2+x_3+x_4=n-4i](x_1!x_2!x_3!x_4!)^{-1} \]

直接 NTT 卷积是 \(O(n^2\log n)\) 的，可以通过。

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权值线段树套区间线段树即可。

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拆分贡献为前缀 \(\max\) 和，后缀 \(\max\) 和，区间 \(\max\)，区间和，区间长度。单侧递归线段树即可。

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神仙计数题。容易想到，最终是一条边连着两个缩后的点，分别是颜色 \([1,k]\) 和 \([k+1,n]\)。于是枚举边，换根 dp 统计子树的无根拓扑序数量。这种方案会计重，考虑怎么计重的，显然是最终一条链上合并顺序任意，假设链的边数为 \(x\)，就要扣掉 \(x-1\) 次贡献，注意到二度点的个数就是 \(x-1\)，于是每一个二度点两边子树无根拓扑序数量乘起来再扣一次贡献即可。

P17140

考虑如何做到无后效性，显然某条线段能否插入与插入后的影响只关心/关于位置意义上上上个右端点与上个右端点，设计 \(dp\) 状态为 \(t\) 条线段，上上个右端点为 \(i\)，上个右端点为 \(j\) 时的值，容易设计边界与状态转移方程。

P12019

边界视为 \(1\)，使用单调栈维护出每一个边界全为 \(1\)，角落和内部可能是 \(0/1\) 的极小矩形，转化成二维 chkmin。考虑扫描线，使用反向 ST 表上每一个节点维护一个延迟删除堆，统计完一层的 ST 表从上往下下传一遍统计答案，复杂度 \(O(n^2\log n)\)。

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注意到贪心连边即可，两条对角线都想连时任意连一条不会改变解的存在性，反证法可以证明正确性，并查集做到 \(O(nm\alpha(nm))\)。

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神仙计数题。注意到在一个强联通分量中任意环可达，不妨将不选的点视为自环，则相当于每个点选一条出边构成环的集合方案数。出边终点一定是排列，于是要求 \(\sum_{p}\prod_{i=1}^nG_{i,p_i}\)，在模 \(2\) 意义下显然等价于邻接矩阵行列式。bitset 优化可以做到 \(O(\frac{n^3}{\omega})\)。对于多个 SCC，Tarjan 缩点后在 DAG 上跑 DP 即可。

UOJ1034

结论题。注意到 Alice 很容易赢。当 \(\lfloor\frac{n}{k}\rfloor\ge 3\) 时，Alice 可以进行二部图染色，染色较小的一边后，Alice 还有一次染色机会，Bob 至多再走一步，Alice 胜。当 \(\lfloor\frac{n}{k}\rfloor=2\) 时，至多可以进行两轮游戏。注意到 \(Bob\) 在两轮游戏中经过的两个点至少需要满足度数 \(\ge k+1\)。我们称满足这个限制的点为关键点，则关键点数量 \(\le \lfloor\frac{2n-2}{k+1}\rfloor\le \frac{2n-2}{k+1} \le \frac{2n-2}{\frac{n}{2}+1}<4\)，于是至多有 \(3\) 个关键点。\(k=1\) 时 \(n=2\) 显然 \(Alice\) 胜，进行简单的分类讨论就会注意到 Bob 在 \(k\ge 2\) 时可以被堵死至只剩一个关键点（起点），于是至多只能走一步，Alice 就会胜利。当 \(\lfloor\frac{n}{k}\rfloor=1\) 时，Alice 必须开局杀 Bob，也就是要求起点度数 \(\le k\)。综上所述，Bob 获胜，当且仅当 \(k>\frac{n}{2}\) 且起点度数 \(\ge k+1\)。

P12559

快进到忽略二进制最高位非最大的元素，减去剩余元素二进制最高位，求 \(\min_c(c+\sum[x>c])\)。转化成求 \(\max_c(\sum[x\le c]-c)\)，这是 Hall 定理推论的形式，于是逆用之，把左部点视为所有数组中的元素，右部点视为 \(1,\dots\)，每个点向 \(1,\dots,x\) 连边，则此式即为最大匹配下左部点失配个数。显然可以以任何顺序贪心匹配选择可选最大点而无需反悔，由于每一次查询最优化一个前缀的后缀，考虑按 \(r\) 扫描线让每一个后缀匹配最大化。每一次 \(r\) 右移，我们可以使得至多一个左端点失配，为了达成最优化目标，这个左端点应当是 \(a_r\) 的支配范围中下标最小的，设其下标为 \(i\)。然后，它会为当前 \(r\) 以及后面的 \(r\) 在 \([1,i]\) 的答案带来 \(1\) 的失配贡献。这些都可以用线段树维护，至于强制在线则由主席树维护答案贡献。这里可以不用主席树前缀加单点查，可以考虑单点作为失配点贡献主席树统计前缀贡献，也就是主席树单点加前缀查，常数小一些。精细实现可以做到 \(O((n+q)\log n)\)。