EGF 笔记

前置知识：暴力多项式 exp/ln

设 \(\ln F=G\)，对应系数分别为 \(\{f_n\}\) 与 \(\{g_n\}\)。

两边求导得

\[\frac{F^{\prime}}{F}=G^{\prime} \]

\[F^{\prime}-FG^{\prime}=0 \]

\[(n+1)f_{n+1}-\sum_{i=1}^{n+1}ig_if_{n+1-i}=0 \]

\[f_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}ig_if_{n-i} \]

\[g_n=f_n-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n-1}ig_if_{n-i} \]

特别地，\(f_0=1,g_0=0\)。

定义

定义序列 \(f\) 的指数生成函数（EGF）为

\[\hat{F}(x)=\sum_{n}f_n \frac{x^n}{n!} \]

加减法只需对应系数相加减即可。

考虑乘法，设 \(\hat{F}(x),\hat{G}(x)\) 分别为序列 \(f\) 和 \(g\) 的 EGF。

\[\begin{aligned} \hat{F}(x)\hat{G}(x) &=\sum_{i\ge 0}f_i\frac{x^i}{i!}\sum_{j\ge 0}g_j\frac{x^j}{j!}\\ &=\sum_{n\ge 0}x^{n}\sum_{i=0}^nf_ig_{n-i}\frac{1}{i!(n-i)!}\\ &=\sum_{n\ge 0}\frac{x^{n}}{n!}\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}f_ig_{n-i} \end{aligned} \]

因此 \(\hat{F}(x)\hat{G}(x)\) 是序列 \(\left\langle \sum_{i=0}^n \binom{n}{i}a_ib_{n-i} \right\rangle\) 的 EGF。

封闭形式

由泰勒展开易知，等比数列 \(\langle 1,p,p^2,\cdots\rangle\) 的 EGF 是：

\[\hat{F}(x) = \sum_{n\ge 0}\frac{p^nx^n}{n!}=\mathrm{e}^{px} \]