高等数学相关

导数

设函数 \(y=f(x)\) 在 \(x_0\) 的某邻域内有定义，若 \(\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\) 存在，则称 \(f(x)\) 在 \(x=x_0\) 处可导，记作 \(f^{\prime}(x_0)\) 或 \(\left.y^{\prime}\right|_{x=x_0}\)，\(\left.y\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dy}\right|_{x=x_0}\) 等。

常见函数求导与求导法则：

\[(c)^{\prime}=0 \]

\[(x^a)^{\prime}=ax^{a-1} \]

\[(\sin x)^{\prime}=\cos x \]

\[(\cos x)^{\prime}=\sin x \]

\[(\tan x)^{\prime}=\frac{1}{\cos^2x} \]

\[(a^x)^{\prime}=a^x \ln a \]

\[(e^x)^{\prime}=e^x \]

\[(\log_ax)^{\prime}=\frac{1}{x\ln a} \]

\[(\arcsin x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \]

\[(\arccos x)^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \]

\[(\arctan x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^2} \]

\[(\operatorname{arccot} x)^{\prime}=-\frac{1}{1+x^2} \]

\[(u \pm v)^{\prime}=u^{\prime}+v^{\prime} \]

\[(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime} \]

\[(\frac{u}{v})^{\prime}=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2} \]

\[(\frac{1}{v})^{\prime}=-\frac{v^{\prime}}{v^2} \]

\[(f(g(x)))^{\prime}=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x) \]

微分

积分

泰勒展开式

若函数 \(f(x)\) 在 \(x=x_0\) 的某邻域无限可导，则

\[f(x) = f(x_0) + \frac{f^{\prime} (x_0)}{1!}(x-x_0) + \frac{f^{\prime\prime} (x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)} (x_0)}{n!}(x-x_0)^n + o[(x-x_0)^n] \]

特别地，当 \(x_0=0\) 时，得麦克劳林展开，

\[f(x) = f(0) + \frac{f^{\prime} (0)}{1!}x + \frac{f^{\prime\prime} (0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)} (0)}{n!}x^n + o(x^n) \]

基本的展开式有两个：

\[\mathrm e^x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\cdots+\frac{1}{n!}x^n+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} \]

\[(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{a(a-1)\ldots(a-n+1)}{n!}x^n+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^{\underline{n}}}{n!}x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{a}{n}x^n \]

易证 \(\sin^{(n)}x=\sin(x+\frac{n\pi}{2})\)。于是由麦克劳林展开得：

\[\sin x=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5+\cdots+\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}+\cdots \]

同理得 \(\cos x\) 的麦克劳林展开：

\[\cos x=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4+\cdots+\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}+\cdots \]

等比数列求和公式得

\[\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots \]

改变 \(x\) 的符号得

\[\frac{1}{1+x}=1-x+x^2+\cdots+{(-1)}^n x^n+\cdots \]

两边积分得

\[\ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\cdots+\frac{{(-1)}^{n-1}}{n}x^n+\cdots \]

欧拉公式

写出 \(\mathrm e^{\mathrm ix}\) 的麦克劳林展开：

\[\mathrm e^{\mathrm ix}=1+\mathrm ix-\frac{1}{2!}x^2-\frac{\mathrm i}{3!}x^3+\frac{1}{4!}x^4+\cdots \]

按奇偶重新组合每一项：

\[\mathrm e^{\mathrm ix}=(1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4+\cdots)+\mathrm i(x-\frac{1}{3!}x^3+\cdots) \]

得到欧拉公式：

\[e^{\mathrm ix}=\cos x+\mathrm i\sin x \]