(max,+) 卷积

模拟赛的时候做到了，对着单调序列 \((\max,+)\) 卷积发愁。此时得到最高指示：

凸卷凸

考虑两个凸函数 \((g,h)\) 的 \((\max,+)\) 卷积 \(f\)。

我们将两个函数差分，差分数组是单调的。此时我们的卷积问题变为在两边选择总长为 \(i\) 的前缀使得这 \(i\) 个数和最大。显然我们直接选前 \(i\) 大就好了，因为差分数组的单调性这前 \(i\) 大一定挤在前缀里面。

那么我们对 \(g,h\) 的差分数组归并排序，得到的就是 \(f\) 的差分数组，再前缀和回去就好了。这样就能做到 \(\mathcal O(n)\)。

单调卷凸

设 \(g\) 是凸的，\(h\) 是单调不降序列。

使用决策单调性，可以发现 \(f_i\) 在 \(h_j\) 上决策单调（随着 \(i\) 增大 \(j\) 也增大），证明暂时不清楚。