Deepseek R1 用 595 秒基本战胜了 SA 毒瘤题 P9396

结局

https://www.luogu.com.cn/record/202208276

推理过程

好的，我现在得仔细看看这道题。题目是说，每个m的立方可以表示为m个连续的奇数的和。例如，给出的例子中，3³等于7+9+11，这三个连续奇数。然后，对于给定的奇数x，f(x)就是这个m的值，使得当m³分解成这些连续奇数时，x是其中的一个数。比如，x=21的时候，出现在m=5的序列里，所以f(21)=5。

现在的问题是要计算s的值，s是所有从i=1到(k+1)/2的f(2i-1)之和，也就是所有奇数1,3,5,...,k对应的f值的总和模1e9+7。并且，k的可能非常大，达到2^64-1，而且有多达3e6次的测试用例。所以必须找到一个非常高效的算法，否则会超时。

首先，我得理解每个奇数x对应的f(x)是如何确定的。假设我们有某个奇数x，我们需要找到最大的m，使得x属于将m³分解成m个连续奇数的那个序列中。那这个序列的构造方式有什么规律吗？

观察给出的例子：

m=1：1 → 和为1³，只有一个数。

m=2：3+5 → 和是8=2³。

m=3：7+9+11 → 和为27=3³。

m=4：13+15+17+19 → 和为64=4³。

m=5：21+23+25+27+29 → 和为125=5³。

看起来，对于每个m来说，这个连续奇数的起始数是怎样的？我们可以找出起始数的规律。例如：

m=1，起始是1。

m=2，起始是3=1+2。

m=3，起始是7=3+4。

m=4，起始是13=7+6。

m=5，起始是21=13+8。

所以，起始数的增量每次增加2。比如，m=1到m=2，起始数增加了2；m=2到3，增了4；m=3到4，增了6；m=4到5，增了8。这似乎形成一个等差数列，每次增量是2(m-1)。或者，可能起始数的通项公式是什么？

或者，我们可以试着找出每个m对应的起始数的数学表达式。比如，观察起始数的序列：

m | 起始数

1 | 1

2 | 3

3 | 7

4 |13

5 |21

这里，每个起始数之间的差是2,4,6,8，也就是每次差增加2。那么，起始数的通项公式可能是什么呢？

起始数构成的数列是1,3,7,13,21...。观察这些数之间的差：

3-1=2；7-3=4；13-7=6；21-13=8。所以，第m项的起始数可以表示为1 + 2 +4 +6 + ... + 2(m-1-1)。或者说，起始数的通项公式是m(m-1)+1？比如，当m=1时，1(0)+1=1；m=2时，21+1=3；m=3时，32+1=7；m=4时，43+1=13；m=5时54+1=21。这似乎是对的。所以起始数的公式是start = m(m-1)+1。

那么，每个m对应的连续奇数是start, start+2, ..., start+2(m-1)。例如，对于m=3，start是7，三个数是7、9、11，每个间隔2。那么，这些奇数的总和等于m³，对吧？而每个连续的m个奇数的和是m³吗？应该是对的，因为题目中的例子都是这样的。

现在，对于给定的奇数x，我们要找到最大的m，使得x属于某个m对应的序列中的某一个奇数。也就是说，x必须出现在某个m的连续奇数序列中。那么，如何根据x找到对应的m呢？

假设x属于m的序列中的某一个数，那么x必须满足start ≤x ≤start +2(m-1)，其中start=m(m-1)+1。并且，start是第m个序列的起始奇数。例如，当x是21时，属于m=5的序列，起始是21，所以该序列的数是21,23,25,27,29。所以，如果x等于start +2k，其中k是0到m-1之间的整数，那么m就是对应的f(x)。

所以，我们的目标是找到最大的m，使得存在k（0≤k<m），使得x= m(m-1)+1 +2k。或者说，可以重写为x = m² -m +1 +2k。其中k的取值范围是0 ≤k <m → 0 ≤2k <2m → x的取值范围是 m² -m +1 ≤x ≤m² -m +1 +2(m-1) → 也就是 m² -m +1 ≤x ≤m² +m -1。例如，当m=5时，x的范围是21~29之间的奇数。比如x=21属于m=5，而x=23也属于m=5，依此类推直到29。

所以，给定x，要找到最大的m，使得m² -m +1 ≤x ≤m² +m -1。并且，这个区间内的x是连续的奇数，所以中间的每个奇数x都对应唯一的m吗？

假设是的。那么，我们需要找到m的最大值满足这个不等式。这时候，我们可以将不等式转化为求解关于m的二次方程或者不等式。

首先，x是已知的，那么对于x来说，满足m² -m +1 ≤x ≤m² +m -1。我们需要找出最大的m满足这个条件。或者，可以解这个不等式，找到可能的m的范围。

例如，对于m来说，左边的式子m² -m +1 ≤x → m² -m ≤x-1 → m² -m -(x-1) ≤0。右边是x ≤m² +m -1 → m² +m -1 -x ≥0。

或者，我们可以将左右的两个不等式结合起来。比如，左边是m² -m ≤x-1，右边是m² +m ≥x+1。这可能比较复杂。或许，可以将不等式两边合并成一个关于m的表达式。比如，x应该处于m² -m +1到m² +m -1之间。那这个区间的长度是（m² +m -1） - (m² -m +1) )=2m-2。这个区间内的所有奇数，都对应同一个m吗？

例如，当m=5时，区间是21到29，共有5个数，每个数对应m=5。这似乎是对的。例如，对于m=3，区间是7到11，三个数。所以，每个m对应的区间包含m个连续的奇数，从起始数开始，步长为2。

那，对于给定的x，我们需要找到最大的m，使得x位于该m的区间内。或者，是否存在多个m满足条件？比如，一个x可能属于多个不同的m的区间吗？

例如，假设x=5。看看各个m的情况：

m=2的区间是3+5 → 3到5。所以x=5属于m=2的区间。而m=3的区间是7~11，不包括5。所以x=5对应的m=2。那是否存在某个x属于多个m的情况？

比如，假设有一个x=7。m=3的起始是7，区间是7~11。那x=7只能属于m=3的区间吗？或者有没有可能，某个更大的m的区间包含它？

比如，m=4的起始是13，所以区间是13~19。所以x=7不在其中。所以，每个奇数x只能属于唯一的一个m的区间。那么，每个x对应的f(x)是唯一的。所以，对于给定的x，只需要找到对应的m即可。

那么，如何将x转换为对应的m呢？

假设我们有一个x，要找到最大的m，使得m² -m +1 ≤x ≤m² +m -1。这可能可以通过求解m的二次方程来找到可能的范围。

例如，考虑x的位置，我们可以将不等式重写为：

m² -m +1 ≤x ≤m² +m -1.

我们可以将这两个不等式结合起来，得到：

m² -m ≤x-1 → m² -m - (x-1) ≤0.

右边是x ≤m² +m -1 → m² +m -1 ≥x → m² +m -x -1 ≥0.

这似乎很难直接解。但或许，可以将整个式子变形，找出m的表达式。例如，将整个式子视为关于m的一元二次不等式，求解m的可能范围。

比如，对于m² -m +1 ≤x → m² -m + (1 -x) ≤0.

这个方程的解是m在 [ (1 - sqrt(4x-3))/2 , (1 + sqrt(4x-3))/2 ] 之间。但这个时候，可能还需要考虑另一个不等式x ≤m² +m -1。

或者，我们可以将两个不等式结合起来：

m² -m +1 ≤x ≤m² +m -1.

考虑整个式子，可以将两边都变形：

左边：m² -m +1 ≤x → m² -m ≤x-1 → m² -m + (1/4) ≤x-1 + (1/4) → (m-0.5)^2 ≤x -0.75 → m-0.5 ≤sqrt(x -0.75) → m ≤sqrt(x -0.75) +0.5.

右边：x ≤m² +m -1 → m² +m -x -1 ≥0 → 解这个不等式的话，判别式是1 +4(x+1) =4x+5. 所以根为 [-1 ±√(4x+5)]/2. 由于m是正整数，所以考虑正根：m ≥ [ -1 +√(4x+5) ] / 2.

所以，结合起来，m的范围是 [ [ (-1 +√(4x+5) ) / 2 ] , sqrt(x-0.75)+0.5 ] 之间。因为m必须是整数，所以可能的m值在这个区间内的整数。并且，我们要找最大的m满足条件。

例如，假设x=21。计算：

左边：sqrt(21-0.75) =sqrt(20.25)=4.5 → 4.5+0.5=5 → m ≤5.

右边：计算4x+5=4*21+5=89 → sqrt(89)≈9.433 → (-1+9.433)/2≈4.216 → 所以m≥5（因为要上取整吗？或者可能我的推导有问题）。这个时候，右边的表达式给出的可能范围是m≥某个值。例如，当x=21时，右边的解是m≥ ( -1 + sqrt(89) )/2 ≈4.216。所以，m的可能整数值是5，4.216<=m <=5 → 最大的是5。这样，代入x=21到不等式：

m² -m +1 =5*4 +1=21 ≤21 → 成立。右边是5²+5-1=29 ≥21 → 成立。所以，m=5是符合条件的。这样，f(21)=5。

这似乎是对的。那对于x来说，m的取值是等于floor( (sqrt(4x+1)+1)/2 )？或者需要找到一个更简单的方式？

另一个思路：对于给定的x，观察m的范围。比如，假设x在某个m对应的区间中，那么这个区间的起始是m(m-1)+1，终止是m(m-1)+1+2(m-1) =m^2 -m +1 +2m-2= m² +m -1. 所以，区间是[m(m-1)+1, m² +m -1]。这个区间的长度是2m-2+1=2m-1？或者计算终止和起始之差：m² +m -1 - (m² -m +1)=2m-2。所以，区间内的元素数目是m个，每个间隔2，所以总共有m项。例如，m=3时，区间是7到11，三个数：7、9、11。

所以，每个m对应的区间长度是2m-2，而里面的奇数的数量是m个。所以，区间内的奇数数目是m个，每个步长是2。因此，该区间中的每个奇数x满足：x = m(m-1)+1 + 2k，其中k=0,…,m-1.

现在，我们想找到最大的m，使得x在该区间内。那如何求这个m？

假设x是某个奇数，那么m的最大可能值由x的位置决定。例如，当x=1时，m=1；x=3是m=2；x=5是m=2；x=7是m=3；x=9是m=3；x=11是m=3；等等。

现在，假设我们想找出x对应的m，那么可以推导出：

对于x来说，存在m满足：

m(m-1)+1 ≤x ≤m(m+1)-1.

这可能吗？例如，当m=5时，54+1=21，56-1=29，所以x的取值范围是21到29，确实符合之前的例子。

那这个式子是否可以合并成：

m(m-1)+1 ≤x ≤m(m+1)-1 → m² -m +1 ≤x ≤m² +m -1.

是的。那现在的问题是如何解这个不等式，找到最大的m满足条件。

我们可以将不等式看作：

m² -m +1 ≤x ≤m² +m -1.

现在，要解这个不等式，找到满足条件的m的最大值。

我们可以将这两个不等式分别处理：

左边的不等式m² -m +1 ≤x → m² -m ≤x-1 → m² -m -x +1 ≤0 → 解这个二次方程m² -m + (1 -x) =0的根。根为 [1 ±√(1-4*(1-x))]/2 = [1 ±√(4x-3)]/2。因为x是奇数且至少是1，所以4x-3≥1，根是实数。对于m来说，m必须为正整数，所以取较大的根：[1+√(4x-3)]/2。所以左边的解是m ≤ [1+√(4x-3)]/2。

右边的不等式x ≤m² +m -1 → m² +m -1 ≥x → m² +m -(x+1) ≥0. 解这个二次方程m² +m -x-1=0的根是 [-1 ±√(1+4(x+1))]/2 = [-1 ±√(4x+5)]/2。因为m是正整数，所以取正根：[ -1 +√(4x+5) ] / 2。所以右边的解是m ≥ [ -1 +√(4x+5) ] /2.

所以，满足左边和右边的条件的m必须在这两个解之间：

[ (-1 +√(4x+5))/2 ] ≤m ≤ [ (1+√(4x-3))/2 ]

因为我们需要最大的m，所以可能取这个区间的上限。或者，可能最大的m是满足该区间的整数部分。

或者，可以找到m的表达式为：对于给定的x，m的取值是满足上述两个不等式的整数，并且最大的可能值。这个时候，可以推导出m的近似表达式。

比如，当x很大时，左边的不等式给出的上限约为sqrt(x)/1，而右边的下限约为sqrt(x)/1。可能两者的平均值接近某个数。或者，可以尝试合并这两个式子。

或者，可以观察到对于给定的x，我们可以解这两个不等式，得到m的可能范围。例如，假设我们有：

m ≤ [1+sqrt(4x-3)]/2.

m ≥ [ -1 + sqrt(4x+5) ] /2.

这两个值的差是多少呢？比如，当x=21时：

sqrt(4x-3)=sqrt(84-3)=sqrt(81)=9 → [1+9]/2=5.

sqrt(4x+5)=sqrt(84+5)=sqrt(89)≈9.433 → [ -1+9.433 ]/2≈4.216 → 所以m的下限是4.216，上限是5。所以，m的整数解是5，即取最大的整数满足这两个条件。

类似地，对于x=3：

左边：sqrt(4*3-3)=sqrt(9)=3 → [1+3]/2=2.

右边：sqrt(4*3+5)=sqrt(17)≈4.123 → [ -1+4.123 ]/2≈1.561 → 所以m的下限是1.561，上限是2。所以，m=2。

这时候，这两个式子给出的区间可能刚好包含唯一的整数m。那这个时候，对于给定的x，最大的m是floor( (1+sqrt(4x-3))/2 )吗？

或者，可以找到这样的m，即取：

m = floor( (sqrt(4x+1) +1)/2 )

这可能是一个可能的表达式。例如，当x=21时，4x+1=85，sqrt(85)=约9.219，+1=10.219，除以2是5.109，取floor为5。这正确。当x=3时，4x+1=13，sqrt=3.605，+1=4.605/2=2.302，floor是2。正确。当x=5时，4x+1=21，sqrt=4.583，+1=5.583/2=2.791，floor是2。正确，因为x=5在m=2的区间里。当x=7时，4x+1=29，sqrt约5.385，+1=6.385/2=3.192，floor是3。正确。所以，这个表达式可能成立？

假设，对于给定的x，m等于floor( (sqrt(4x+1)+1)/2 )。那这时候，是否满足m的条件？

假设这个表达式是正确的，那么我们可以快速计算出m的值。那这时候，我们需要验证这个式子是否成立。

例如，x=1：4x+1=5，sqrt≈2.236，+1=3.236/2≈1.618，floor是1。正确。x=7：得到3。正确。x=9：同样得到3。正确。x=11：得到3。正确。x=13：代入得到m=4？

4x+1=53，sqrt≈7.28，+1=8.28/2=4.14 → floor是4。此时，m=4对应的区间是13~19。x=13属于这个区间。所以，是的。所以，这个公式可能正确。那这时候，对于任意x，m的值等于floor( (sqrt(4x+1)+1)/2 )。

那这个时候，问题转化为如何快速计算这个表达式的结果。但是，对于非常大的x（比如接近2^64），如何快速计算sqrt(4x+1)的值？

这里需要注意到，x是一个奇数，所以4x+1=4*(2k+1)+1=8k+5，可能不是平方数。但不管怎样，我们需要计算sqrt(4x+1)的整数部分，然后代入式子。

例如，假设x=2^{64-1，那么4x+1=4*(2}64-1)+1=2^66-3。这时候，计算其平方根的整数部分可能比较复杂，但可以使用二分法或者牛顿迭代法。

不过，在C++中，处理大整数的平方根可能比较困难。因为k的范围是到2^{64-1，所以4x+1可能大到接近4*(2}64) = 2^66。这时候，普通的浮点数可能无法精确表示这么大的数的平方根。所以，可能需要使用二分法来找到sqrt(4x+1)的整数部分。

或者，是否存在其他方式，能够将m的表达式转化为整数运算？

另一个思路是，将m的表达式写成：m = floor( (sqrt(4x+1) +1)/2 )。我们是否可以将其转化为另一种形式？

例如，令s = sqrt(4x+1)。则，s的整数部分是最大的整数t，满足t² ≤4x+1 <(t+1)^2。然后，m = floor( (t +1)/2 )。

假设t是奇数或者偶数，那么根据t的奇偶性，可能可以找到对应的m的值。或者，不管t的奇偶性，直接取(t+1)/2的整数部分？

例如，当t是奇数：比如t=5 → (5+1)/2=3 → m=3.

当t是偶数：t=4 → (4+1)/2=2.5 → floor是2.

所以，这似乎可以处理两种情况。那这个时候，找到t= floor( sqrt(4x+1) )是关键。

所以，问题转化为如何快速计算t= floor( sqrt(4x+1) )，然后计算m= (t+1)/2的整数部分。例如，当t是奇数或偶数，如何得到正确的m？

例如，假设x=21，4x+1=85。sqrt(85)=9.219，所以t=9。则m=(9+1)/2=5。正确。当x=3，4x+1=13→ t=3 → m= (3+1)/2=2。正确。当x=5，4x+1=21→t=4 → m=(4+1)/2=2.5 → floor是2。正确。当x=7，4x+1=29→t=5→m=3。正确。这样看来，不管t的奇偶性如何，计算m=(t+1)//2（整数除法）即可得到正确的m值。

例如，当t=9时，(9+1)/2=5。当t=4，4+1=5，5/2=2.5，整数除法取2。是的。所以，正确的m等于（t+1)//2，其中t是sqrt(4x+1)的整数部分。也就是说，m = (t +1) //2，其中t是最大的整数满足t² ≤4x+1。

这样，问题转化为如何计算t的值，然后计算m的值。接下来，如何高效地计算这个t？

对于非常大的x（比如接近2^64），直接计算4x可能会导致溢出，但题目中给出的k是unsigned，所以需要用64位无符号整数来处理。例如，在C++中，可以使用unsigned long long类型，但要注意，当x接近2^{64-1时，4x+1可能会溢出，但题目中的k是正奇数，且k<2}64。当k是2^{64-1时，4x+1=4*(2}64-1)+1=4*2^64-4+1=266-3，这显然超过了unsigned long long的范围（64位的话，最多能表示到2^64-1）。所以，这时候需要处理大整数的问题？

但是题目中的输入k是可以用unsigned long long存储的，因为k<2^{64。那么4x+1的值当x是2}64-1时，会等于4(2^64-1) +1=42^64-3。这显然超过了64位的存储能力。所以，如何处理这样的问题？

这时候可能需要使用数学方法或者位运算来计算t的值，而无需显式地计算4x+1的值。或者，可以将x视为一个很大的数，比如用字符串表示，或者用某种高精度方法处理。但是这样的话，对于3e6次查询来说，这样的方式可能不够高效。

这时候，我们需要找到一个替代的方法，不直接计算4x+1的值，而通过其他方式找到t的值。

或者，是否存在某种数学规律，使得我们可以将x转换为m的值，而无需直接计算4x+1的平方根？

观察问题，当x是某个奇数时，它的m值是满足m(m-1)+1 ≤x ≤m(m+1)-1的最大m。或者，可以将这个式子重新排列：

m(m-1) ≤x-1 → m² -m -x +1 ≤0.

同时，x ≤m² +m -1 → m² +m -x -1 ≥0.

这可能比较难解。不过，我们是否可以重新整理这两个不等式？

将这两个不等式合并，得到：

m² -m +1 ≤x ≤m² +m -1.

我们希望找到最大的m满足这个条件。这可能可以通过二分法来解决。

例如，对于给定的x，可能的m的范围是1到某个上限。比如，因为x≥1，所以m的上限可能大约为sqrt(x)+1。因此，可以使用二分法在可能的m范围内寻找最大的满足条件的m。

那如何判断一个m是否满足条件？

对于某个m，我们只需要检查：

m(m-1)+1 ≤x ≤m(m+1)-1.

如果成立，那么这个m是一个可能的候选。我们的目标是找到最大的这样的m。

例如，对于x=21：

检查m=5：54+1=21 ≤21 ≤56-1=29 → 成立。

检查m=6：6*5+1=31>21 → 不成立。所以最大的m是5。

所以，二分法的步骤可以是：

初始化low=1，high=某个估计的上界（比如sqrt(x)+2）。

循环直到low <=high：

mid = (low+high)/2.

计算区间是否包含x。即，判断mid(mid-1)+1 <=x <=mid(mid+1)-1.

如果成立，则记录mid，并尝试更大的值，即low=mid+1.

否则，如果x >mid*(mid+1)-1，说明需要更大的m，所以low=mid+1.

如果x <mid*(mid-1)+1，说明需要更小的m，所以high=mid-1.

最后，最大的m就是找到的满足条件的最大值。

这可能是一个可行的方法，但问题在于当x很大时，mid(mid+1)可能会溢出，尤其是当mid是接近2^{32的时候，mid*(mid+1)会达到2}64，可能超出64位无符号整数的范围。例如，当mid=2^{32时，mid*(mid+1)=2}32(2^32+1)≈264+2^32，这超过了unsigned long long的范围，导致溢出。所以，这样的计算在C++中可能导致错误的结果。

因此，直接使用二分法可能会有溢出的问题。所以需要找到一个避免计算mid*(mid+1)的方法，或者找到一个方式，在计算的时候判断是否溢出。

或者，可以将不等式转换为比较x与mid²的形式。例如：

m(m-1)+1 ≤x → m² -m +1 ≤x → m² ≤x +m -1 → m² ≤x +m -1.

而右边的不等式x ≤m(m+1)-1 → x+1 ≤m² +m → x+1 ≤m(m+1).

这样，可能可以将比较转化为更不容易溢出的形式？

或者，我们可以将这两个不等式转化为：

m² -m +1 ≤x → m² ≤x +m -1 → m <= sqrt(x +m -1).

这可能没有帮助。

或者，当处理m较大的情况时，例如，当m^{2超过x的值时，可以判断mid是否可能满足条件。例如，当mid}2 >x + mid -1时，则说明mid太大，需要减小high。

这可能比较复杂。

那么，这时候，如何高效地计算m的值呢？

回到之前的公式，假设m的表达式是floor( (sqrt(4x+1)+1)/2 )。所以，关键在于如何计算sqrt(4x+1)的整数部分。这可能需要使用到平方根的计算方法，特别是对于非常大的x，比如当x接近2^{64-1时，4x+1=4*(2}64-1)+1=2^66-3，这明显超出了64位无符号整数的范围。因此，无法直接计算4x+1的值。

这时候，我们需要找到一种方法来计算sqrt(4x+1)的整数部分，而无需显式地计算4x+1的值。或者，是否可以将x的平方根转化为其他形式？

例如，sqrt(4x+1) = 2*sqrt(x) + ... ? 但可能没有这样的简单关系式。

另一种思路：假设x很大，那么4x+1≈4x，所以sqrt(4x+1)≈2*sqrt(x). 但可能这并没有直接的帮助。

或许，我们可以用位运算或二分法来计算sqrt(4x+1)的整数部分。例如，找到最大的t，使得t² ≤4x+1.

这可能需要一个高效的平方根算法，适用于非常大的整数，比如使用逐位确定的方法。

但考虑到x的范围是到2^{64-1，所以4x+1的范围是到2}66-3，因此，t的最大可能值是到2^33（因为 (2³³⁾2=2^66，而4x+1可能接近这个值）。

对于这样的t，我们可以用二分法来找t的最大值，使得t² ≤4x+1.

这样，即使对于最大的x来说，二分法的次数也是log2(t)次，也就是最多约34次循环，这对于3e6次查询来说，是可以接受的。

所以，这可能是一个可行的解决方案。

具体来说，对于给定的x，我们需要找到最大的t，使得t² ≤4x+1.

这可以通过二分法实现：

初始化low=0，high=2e33（或者其他足够大的值，比如x的平方根的两倍）。

然后，循环直到low <=high：

mid = (low + high)/2.

计算mid²的值，并与4x+1比较。

如果mid² <=4x+1 → 可能可以更大，所以low=mid+1.

否则 → high=mid-1.

最后，high就是最大的t满足t² ≤4x+1.

但是，当x是接近2^{64-1时，4x+1的值是大约2}66，此时mid可以是2^{33左右，所以mid}2会是约2^66，这已经超过了64位无符号整数的范围。因此，在C++中，这样的计算将导致溢出，无法正确比较。

因此，必须找到一个方法，在计算mid²的时候避免溢出。

这个时候，可以注意到，当mid可能大到导致mid²溢出时，可以提前终止。例如，当mid超过某个值时，mid²一定大于4x+1，所以可以提前调整high的值。

例如，在二分法中，当计算mid * mid时，如果结果溢出，那么mid*mid肯定大于4x+1，所以此时应该将high设置为mid-1。

因此，在C++中，可以使用以下条件来判断mid是否太大：

如果 mid > sqrt(4x+1), 则mid² >4x+1.

但因为无法直接计算sqrt(4x+1)，所以必须找到另一种方法。例如，可以将mid与 (4x+1)/mid比较。

或者，更简单的方法是在计算mid*mid的时候，如果发生溢出，即结果超过某个值，则视为mid² >4x+1。

或者，可以利用数学关系，比如，比较mid和 (4x+1)/mid的值。

例如，在计算mid² ≤4x+1时，可以写成mid <= (4x+1)/mid。这样，在mid非常大的情况下，右边的值可能很小，从而可以比较mid和该值的大小。

但是，当mid为0时，这种方法会出错，但我们的mid的取值范围是大于等于0的。

但如何处理这种情况呢？

例如，当mid=0时，左边是0，右边是无限大，所以成立。但这只在x=0的情况下出现，而题目中的x是正奇数，所以这种情况不存在。

因此，在循环中，当mid>0时，可以比较mid与 (4x+1)/mid的大小。例如，如果mid > (4x+1)/mid → 则mid²>4x+1 → 需要调整high=mid-1.

否则，mid²<=4x+1 → 调整low=mid+1.

这样，可以避免计算mid²的值，从而防止溢出。

但是，这需要将4x+1的值保存在某个变量中，而x可以是接近2^{64-1的数，所以4x+1可能超过64位无符号整数的最大值。例如，当x=2}64-1时，4x=2^{66-4，所以4x+1=2}66-3，这无法用64位无符号整数表示。因此，在C++中，如何处理这个问题？

这似乎是一个难题。因为4x+1的值可能超过64位无符号整数的最大值，所以无法直接保存。那这时候，可能需要将x表示为更大的类型，比如使用__uint128_t，但这可能依赖于编译器的支持。或者，在无法使用更大的类型时，需要找到其他方法。

假设我们可以使用__uint128_t类型来处理这些大数。因为题目中的k是unsigned long long类型，所以x的范围是1 <=x <=2^{64-1。因此，4x+1的最大值是4*(2}64-1)+1=2^66-4+1=266-3。这需要至少67位才能存储。所以，使用__uint128_t类型可以处理这种情况。例如，在C++中，某些编译器（如GCC）支持__uint128_t类型，可以存储128位的整数。

因此，假设我们可以使用__uint128_t类型，那么可以安全地计算4x+1的值，并且在二分法中比较mid和 (4x+1)/mid的值。

因此，计算t= floor(sqrt(4x+1))的步骤如下：

1. 将x转换为__uint128_t类型，计算val =4x+1.

2. 使用二分法找到最大的t，使得t*t <=val.

这样，可以得到正确的t的值。

然后，m=(t+1)/2的整数部分。

例如，当x=21，val=85，t=9，m=(9+1)/2=5.

当x=3，val=13，t=3，m=2.

当x=2^{64-1，val=4*(2}64-1)+1=2^{66-3。此时，t的平方应该等于或接近这个值。例如，t=2}33-1 → t²= (2³³⁾2 - 2*2^33 +1=2^66-234+1。这可能小于val=2^{66-3。所以，最大的t可能等于2}33-1。而m=(t+1)/2= (2^33-1+1)/2=232.

此时，验证m对应的区间是否包含x=2^64-1：

m=2^32.

start =m*(m-1)+1=2^32*(232-1)+1=2^64 -2^32 +1.

end= m*(m+1)-1=2^32*(232+1)-1=2^64 +2^32 -1.

而x=2^64-1位于start和end之间吗？

start=2^64-232+1 ≤x=2^64-1 ≤end=2⁶⁴⁺²32-1 →是的。所以，m=2^32是正确的。

所以，这样的方法是可行的。

现在，问题转化为如何高效地实现这个二分法，使用__uint128_t类型。

在C++中，处理__uint128_t需要注意输入输出的问题，但在这个问题中，输入是unsigned long long类型的k，所以可以将x转换为__uint128_t类型。

所以，具体的步骤是：

对于给定的奇数x：

1. 计算val =4x +1.

2. 二分法找到最大的t，使得t*t <=val.

3. m=(t+1)/2.

这样，就得到了f(x)的值。

现在，回到原题的问题，我们需要计算s= sum_{i=1}^{(k+1)/2} f(2i-1)}，也就是对所有奇数1,3,5,...,k求和他们的f值。然后输出s mod 1e9+7.

但是，k的范围非常大，达到2^64-1，并且T是3e6次测试用例。如果对于每个测试用例，都要计算每个奇数的f值然后累加的话，时间复杂度是O(T * (k+1)/2)，这显然无法承受。例如，当k=1e18时，每个测试用例需要1e18次计算，完全无法处理。

所以，必须找到一个数学规律，可以快速计算这个总和s的值，而不需要逐个计算每个奇数的f值。

这说明，我们需要找到一种方法，将整个求和转换为某个数学表达式或者分段的累加，从而在O(1)或者O(logk)的时间内计算每个k对应的s的值。

现在，我们需要找到，对于所有奇数x=1,3,5,...,k，它们的f(x)的值的总和。

根据之前的分析，每个x对应的m是floor( (sqrt(4x+1)+1)/2 ). 也就是，m的值对应不同的区间。比如，当x在某个区间时，对应的m是某个固定值。例如，当x在m的区间[m(m-1)+1, m(m+1)-1]中的奇数时，它们的f(x)=m.

因此，我们需要统计每个m对应的区间中的奇数的个数，然后乘以m，最后累加所有这样的贡献。

例如，对于某个m，对应的奇数的x的范围是start=m(m-1)+1到end=m(m+1)-1，且x必须为奇数。那么，这个区间内有多少个奇数？

start的奇偶性取决于m(m-1)+1。因为m(m-1)是两个连续整数相乘，所以必为偶数。所以，start=even+1=奇数。同样，end=m(m+1)-1. m和m+1的乘积是偶数，所以even-1=奇数。所以，区间[start, end]中的数都是奇数吗？是的。因为start是奇数，end是奇数，步长为2。例如，当m=2时，start=3，end=5，共有2个数：3、5。每个m对应的区间中的奇数数目是m个，因为每个m的区间是连续的m个奇数。

例如，m=2对应的区间是3、5，两个数，数目为2，等于m。m=3对应的7、9、11，三个数，等于m。所以，每个m对应的区间中正好有m个奇数，且这些奇数的f(x)=m。

所以，所有奇数的x被划分到不同的m对应的区间中，每个区间中的x的数目是m个，且每个这样的x的f(x)=m。所以，所有奇数的总和可以分解为各个m的贡献：每个m贡献m * 该区间中的x的数目，也就是m *m= m²。所以，整个总和s等于所有满足条件的m的平方之和，其中m对应的区间中的奇数是输入k中的一部分。

这样，问题转化为找出所有m，使得对应的区间中的奇数的x在1到k之间，并计算这些m的平方的总和，加上部分区间中的奇数的数目乘以对应的m。

例如，假设k=29，那么所有奇数到29对应的m是：

m=1：x=1 →贡献1²=1.

m=2：x=3,5 →贡献2²=4.

m=3：x=7,9,11 →贡献3²=9.

m=4：x=13,15,17,19 →贡献4²=16.

m=5：x=21,23,25,27,29 →贡献5²=25.

总和是1+4+9+16+25=55.

但根据题目中的例子，比如当k=21时，对应的总和是s=1+2+3+4+5=15吗？或者等一下，原题的示例中给出的例子：

例如，当k=5时，是求f(1)+f(3)+f(5)=1+2+2=5？或者假设题目中的示例：

比如，题目中的例子中：

f(1)=1 →因为1属于m=1的区间。

f(3)=2 →属于m=2的区间。

f(5)=2 →属于m=2的区间.

f(7)=3 →属于m=3的区间.

等等。

所以，当k=5时，奇数x有1,3,5。对应的f(x)总和是1+2+2=5。所以总和是5。但按照之前的思路，每个m对应的贡献是m²。例如，m=1贡献1²=1，m=2贡献2²=4，总和是1+4=5，与结果一致。这样，这说明当k刚好是某个区间的最后一个奇数时，总和为各m的平方之和。

当k位于某个区间的中间时，例如k=23，那么该区间对应的m=5的x包括21,23,25,27,29。此时，k=23，属于该区间的前两个数。所以，这部分的贡献是25。而前面的m=1,2,3,4贡献各自的平方。总和为1+4+9+16+25=1+4+9+16+10=40.

所以，现在问题转化为：

找到最大的m_max，使得其对应的区间的最后一个奇数 <=k。然后，计算所有m=1到m_max-1的平方之和，加上m_max对应的区间中奇数的数目（即有多少个奇数 <=k）乘以m_max.

例如，对于k=23：

m_max=5，因为该区间的最后一个奇数是29，而23 <29。所以，需要确定m_max的区间是否包含k。这里可能需要重新分析。

正确的做法应该是：

找到最大的m，使得该区间的起始奇数start <=k。然后，根据k的位置，确定该区间中有多少个奇数小于等于k，并计算贡献。

具体来说：

1. 找出所有满足m的区间start <=k的m的最大值，即m_max。这里，start是m(m-1)+1。如果start <=k，则m是一个候选。

或者，更准确地说，找到最大的m，使得 start_m <=k，其中 start_m = m(m-1)+1.

然后，对于每个m，对应的奇数的范围是start_m到end_m =m(m+1)-1。每个区间内的奇数数目是m个。如果end_m <=k，那么该m的贡献是m²。否则，该m的贡献是 (k - start_m)/2 +1) *m.

所以，整个总和s可以分解为：

s = sum_{m=1}^{m_max-1} m² + (count) *m_max,

其中count是m_max区间中 <=k的奇数数目。

例如，当k=23时：

m_max=5，因为start_5=21 <=23，而start_6=6*5+1=31>23.

此时，end_5=29>23.所以，该区间的奇数是21,23,25,27,29. 其中，<=23的有21,23。数目是2。所以，贡献是2*5=10.

之前的m=1到4的贡献是1+4+9+16=30.总和30+10=40，即正确。

所以，现在的问题转化为如何快速找到m_max，并计算前m_max-1个平方和，以及当前m_max的贡献。

现在，如何找到m_max？

m_max是最大的m，使得 m(m-1)+1 ≤k.

这个不等式可以重写为：

m² -m +1 ≤k → m² -m ≤k-1 → m² -m - (k-1) ≤0.

解这个二次方程：

m = [1 ±√(1+4(k-1))]/2.

取正根：m = [1+√(4k-3)]/2.

所以，m_max= floor( [1+sqrt(4k-3)]/2 ).

例如，当k=23:

4k-3=89 → sqrt(89)=9.433 → [1+9.433]/2=5.216 → floor为5 → m_max=5.

当k=21时，4k-3=81 → sqrt=9 → [1+9]/2=5 → m_max=5.

当k=29时，4k-3=113 → sqrt≈10.63 → [1+10.63]/2≈5.815 → floor5 → m_max=5？

但k=29是m=5的区间的最后一个数，所以start=21 <=29，而且end=29=29 →属于该区间。所以m_max=5，正确。

那这个时候，m_max的计算可以简化为：

m_max = floor( (1+sqrt(4k-3))/2 )

这类似于之前f(x)的表达式，但现在是对k的处理。

现在，如何计算m_max？

同样，对于非常大的k（比如接近2^64-1），计算sqrt(4k-3)需要处理大数问题。但同样，可以使用二分法或者使用__uint128_t类型来处理。

所以，这里可能需要两个步骤：

步骤一：计算m_max，即最大的m满足m(m-1)+1 ≤k.

步骤二：计算该m_max对应的区间中有多少奇数<=k，即count= (k - start +2)/2. 因为区间内的奇数是连续的，步长为2，所以数目是 (k - start)/2 +1.

其中start= m_max*(m_max-1)+1.

如果 start +2*(m_max-1) <=k → count= m_max.

否则，count= (k - start)/2 +1.

例如，当k=23，start=21，k- start=2 → 2/2=1 → 1+1=2.

当k=29，count=5.

所以，count= min(m_max, (k - start)/2 +1).

所以，总和s= sum_{m=1}^{m_max-1} m² + count * m_max.

现在，问题分解为如何快速计算sum_{m=1}^n m²，其中n=m_max-1.

已知sum_{m=1}^n m² = n(n+1)(2n+1)/6.

所以，这部分可以用这个公式快速计算。

所以，现在，整个计算过程可以分为：

对于给定的k：

1. 计算m_max = floor( (1+sqrt(4k-3))/2 ).

这可以通过二分法计算得到，其中，需要找到最大的m使得m(m-1)+1 ≤k.

2. 计算sum_{m=1}^{m_max-1} m² = (m_max-1)m_max(2m_max-1)/6.

3. 计算start =m_max*(m_max-1)+1.

4. 计算count= min(m_max, (k - start)/2 +1).

这里，因为start和k的差必须>=0，所以如果k <start → count=0，但m_max的确定已经确保了start<=k，所以count≥0.

例如，当k=start时，count=1.

5. 总和s= sum + count*m_max.

最后，将s mod 1e9+7.

现在，如何高效地计算m_max？

同样，可以使用二分法来找到最大的m满足m(m-1)+1 <=k.

例如，初始化low=1，high=一个足够大的数（比如sqrt(k)+2）.

在每次循环中，计算mid，并判断mid*(mid-1)+1 <=k.

因为mid可能很大，所以mid*(mid-1)的计算可能溢出64位无符号整数。例如，当mid=2^{32时，mid*(mid-1)=2}64 -2^{32，这超过了64位无符号整数的最大值（2}64-1）。因此，在C++中，这样的计算会溢出，导致错误的结果。

因此，必须避免直接计算mid*(mid-1)+1，而使用某种方法来判断条件。

例如，可以将条件改写为：

mid*(mid-1) <=k-1.

这可能使用__uint128_t来进行比较。例如，在C++中：

__uint128_t product = (__uint128_t) mid * (mid-1);

if (product <=k-1) → 条件成立。

这样，可以安全地比较，即使mid很大。

所以，在实现中，可以将mid转换为__uint128_t类型进行计算。

因此，二分法的步骤为：

函数：计算m_max.

输入：k.

输出：最大的m，使得m(m-1)+1 <=k.

初始化low=1， high=2e32（足够大）.

while low <=high:

mid= (low+high)/2.

__uint128_t product = (__uint128_t)mid * (mid-1);

if (product <=k-1 -1? → 原式是mid(mid-1)+1 <=k →等价于 mid(mid-1) <=k-1.

→判断product <=k-1.

→ 如果成立，则low=mid+1.

→否则，high=mid-1.

循环结束后，high就是最大的m满足条件。

例如，当k=23:

初始low=1，high=假设是23.

mid=12 → product=12*11=132 <=22? 132>22 →不成立。high=11.

mid=6 →6*5=30 <=22 →不成立。high=5.

mid=3 →3*2=6 <=22 →成立。low=4.

mid=4+5=4.5→4.5取整为4+5=9 →mid=4+5=9？或者，C++中整数除法，mid=(low+high)/2= (4+5)/2=4.5 →4.

mid=4 →4*3=12 <=22 →成立。low=5.

low=5, high=5.

mid=5 →5*4=20 <=22 →成立。low=6.

此时low>high，循环结束。high=5 → m_max=5.

正确。

所以，这样的二分法可以正确得到m_max的值。

现在，将所有步骤总结：

对于每个测试用例中的k：

1. 使用二分法找到m_max，即最大的m满足m(m-1)+1 <=k.

2. 计算sum_squares = m_max(m_max-1)(2*(m_max-1)+1)/6 →即sum_{m=1}^{m_max-1} m².

3. 计算start =m_max*(m_max-1)+1.

4. 计算count= (k - start)/2 +1 → 因为start和k都是奇数，所以k-start是偶数，所以count是整数。例如，start=21，k=23 →23-21=2 →2/2=1 →1+1=2.

5. 如果count>m_max，说明k>= end，其中end=start+2(m_max-1) →这时count应该等于m_max.

否则，取count.

例如，当k >= end时，count= m_max.

end= start +2*(m_max-1) = m_max(m_max-1)+1 + 2m_max-2= m_max² -m_max +1 +2m_max-2= m_max² +m_max-1.

所以，当k >= m_max² +m_max-1 → count= m_max.

否则，count= (k - start)/2 +1.

所以，在代码中可以这样处理：

if (k >= start + 2*(m_max-1)) {

count = m_max;

} else {

count = (k - start)/2 +1;

}

或者，在计算count时，取 min(m_max, (k - start)/2 +1).

因为 start +2*(m_max-1) =m_max² +m_max -1.

所以，当k >=m_max² +m_max -1 →count=m_max.

否则，count= (k - start)/2 +1.

这样，就可以正确计算count的值。

然后，总和s= sum_squares + count *m_max.

最后，将s mod 1e9+7.

现在，剩下的问题是如何高效处理这些计算，特别是针对非常大的k值。

接下来，考虑取模的问题。由于最终结果需要mod 1e9+7，而中间的计算可能非常大，所以需要在每一步都进行mod，避免溢出。

例如，sum_squares的计算公式为 (m_max-1)m_max(2*(m_max-1)+1)/6 →但必须注意模运算的除法问题。因为6和模数1e9+7可能不是互质的，所以需要使用模的逆元。

但1e9+7是质数，6和它互质。所以，6的逆元可以预先计算。

例如，mod=1e9+7.

inv6=pow(6, mod-2, mod).

然后，sum_squares= (( (m_max-1) % mod ) * (m_max % mod) % mod ) * ( (2*(m_max-1)+1) % mod ) % mod ) * inv6 % mod.

这样，可以避免大数的计算。

同样，在处理count*m_max时，需要取模。

所以，整个计算流程必须在模意义下进行，以避免数值溢出。

现在，将所有步骤转换为代码：

预处理：

• 计算mod=1e9+7.

• 计算inv6=pow(6, mod-2, mod).

对于每个测试用例中的k：

1. 计算m_max via二分法.

2. 计算sum_squares = (m_max-1)m_max(2m_max-1)/6 mod mod.

注意，这里的分子可能非常大，所以需要使用公式转化为模运算，并利用逆元。

例如，sum_squares = ((m_max-1) * m_max % mod) * ( (2*(m_max-1) +1) % mod ) % mod ) * inv6 % mod.

3. 计算start= m_max*(m_max-1)+1.

4. 计算end=start +2*(m_max-1).

如果k >= end → count= m_max.

否则 → count= (k - start)/2 +1.

但需要注意，start和k都是奇数，所以k-start是偶数，所以除法是整数。

5. 计算count_value= count % mod.

6. 计算current_contribution= (count_value * (m_max % mod)) % mod.

7. 总和s= (sum_squares + current_contribution) % mod.

输出s.

这样，代码就可以在O(1)的时间复杂度内处理每个测试用例，前提是m_max的计算是高效的。

现在，如何将m_max的二分法实现为高效的计算？

对于每个k，二分法的次数大约是log2(m_max)次。由于k可以达到2^64-1，m_max可能达到约 2^32。因此，二分法的次数大约是32次，这对于每个测试用例来说是可接受的，因为总共有3e6次测试用例，总次数是3e6 *32=9.6e7次操作，这在C++中是可以处理的。

现在，如何实现二分法？

实现步骤：

函数：计算最大的m，使得 m(m-1)+1 <=k.

输入：k的类型是unsigned long long.

输出：m_max的类型是unsigned long long.

实现：

使用二分法，其中low=1， high=初始值设置为足够大的数。例如，可以初始设置high=2e18，这足以覆盖k=2^{64-1的情况。因为当m=2}32时，m(m-1)+1=2^64 -2^32 +1, which is larger than 2^{64-1.所以，对于k=2}64-1来说，m_max=2^32-1.

或者，更精确地，可以通过数学推导得到high的上限。

例如，对于m(m-1)+1 <=k → m² -m <=k-1 → m² <=k-1 +m → m² <=k +m →忽略m，大致m^2 <=k +m → m<= sqrt(k)+1.

所以，high可以初始化为 sqrt(k)+2.

但计算sqrt(k)对于大的k可能需要使用浮点数，这可能不精确。所以，更安全的方式是将high初始化为 2e18，这足够大。

在C++中，可以将high初始化为 min( (unsigned long long)2e18, k ), 因为当k<1e18时，high取k更高效。但可能不需要，因为二分法的步骤会自动调整high。

所以，代码的大致结构：

unsigned long long compute_m_max(unsigned long long k) {

if (k ==0) return 0; // 但k>=1.

unsigned long long low=1, high= 2e18;

unsigned long long ans=0;

while (low <=high) {

unsigned long long mid= low + (high-low)/2;

__uint128_t product= (__uint128_t) mid * (mid-1);

if (product <= (__uint128_t)(k-1)) {

ans=mid;

low=mid+1;

} else {

high=mid-1;

}

}

return ans;

}

这样，就能得到正确的m_max.

例如，当k=23 →mid=5，product=5*4=20 <=22 →ans=5.

当k=1 →mid=1, product=0 <=0 →ans=1.

这样，函数是正确的。

现在，编写完整的C++代码：

需要注意以下几点：

1. 处理模运算的中间步骤。

2. 预处理inv6=166666668，因为 6*166666668 mod 1e9+7=1.

3. 对于每个测试用例，读取k的值，调用compute_m_max(k)得到m_max.

4. 计算sum_squares的部分，使用模运算。

5. 计算start和count.

6. 将结果取模。

代码示例：

#include <iostream>

using namespace std;

const int mod = 1e9 +7;

const int inv6= 166666668; // 6的逆元模1e9+7

unsigned long long compute_m_max(unsigned long long k) {

if (k ==0) return 0;

unsigned long long low=1, high= 2e18;

unsigned long long ans=0;

while (low <=high) {

unsigned long long mid= low + (high-low)/2;

__uint128_t product= (__uint128_t) mid * (mid-1);

if (product <= (__uint128_t)(k-1)) {

ans=mid;

low=mid+1;

} else {

high=mid-1;

}

}

return ans;

}

int main() {

ios_base::sync_with_stdio(false);

cin.tie(nullptr);

int T;

cin >> T;

while (T--) {

unsigned long long k;

cin >> k;

unsigned long long m_max= compute_m_max(k);

if (m_max==0) { // 不可能，因为k>=1.

cout <<0 <<'\n';

continue;

}

// 计算sum_squares = sum_{m=1}^{m_max-1} m² → (m_max-1)*m_max*(2m_max-1)/6

unsigned long long n= m_max-1;

unsigned long long part1= n % mod;

unsigned long long part2= (n+1) % mod;

unsigned long long part3= (2*n +1) % mod;

unsigned long long sum_squares= (part1 * part2) % mod;

sum_squares= (sum_squares * part3) % mod;

sum_squares= (sum_squares * inv6) % mod;

// 计算start= m_max*(m_max-1)+1

__uint128_t start= (__uint128_t) m_max * (m_max-1) +1;

unsigned long long count;

if (k >= start + 2*(m_max-1)) {

count= m_max;

} else {

count= (k - start)/2 +1;

}

unsigned long long current= (count % mod) * (m_max % mod) % mod;

unsigned long long s= (sum_squares + current) % mod;

cout << s << '\n';

}

return 0;

}

这个代码的关键点在于：

• 使用__uint128_t来处理大数的乘法，避免溢出。

• 快速计算m_max，使用二分法。

• 使用模运算公式处理sum_squares.

测试样例：

例如，当k=1时，m_max=1.

sum_squares =0（因为 m_max-1=0）.

start=1*0+1=1.

k >=1+0 →1 >=1 → count=1.

current=1*1=1.

总和s=0+1=1 mod 1e9+7 →1.

正确。

当k=3：

m_max的计算：

product=2*1=2 <=3-1=2 →成立。ans=2.

sum_squares是 sum for m=1到1 →1²=1.

sum_squares=1(1+1)(21+1)/6 → 12*3/6=1.

count: start=21+1=3. 3的区间的end=3+2(2-1)=5. k=3 >=3且<=5.

count= (3-3)/2 +1=0+1=1.

current=1*2=2.

总和=1+2=3.

但根据之前的例子，当k=3时，x=1和3。f(1)=1，f(3)=2 →总和是1+2=3。正确。

当k=5时，m_max=2的start=3 ≤5，product=2*1=2 <=5-1=4 →成立。ans=2.

sum_squares=1²=1.

start=2*1+1=3.

k=5 >=3+2*(2-1)=5 →count=2.

current=2*2=4.

总和1+4=5 →正确。

当k=23：

m_max=5.

sum_squares= (5-1)5(2(5-1)+1)/6 →459/6= 45*9=180 →180/6=30.

start=5*4+1=21.

end=21+2*4=29.

k=23 < 29 →count= (23-21)/2 +1=1+1=2.

current=2*5=10.

总和=30+10=40.

正确。

综上，代码是正确的。

输出结果

为了解决这个问题，我们需要快速计算给定正奇数 ( k ) 的 ( s = \sum_{i=1}^{(k+1)/2} f(2i-1) \mod 10^9 + 7 )，其中 ( f(x) ) 的定义是将 ( x ) 表示为某个连续奇数序列中的一个数时的序列长度。

方法思路

1. 数学推导：通过观察发现，每个 ( m^3 ) 可以表示为 ( m ) 个连续奇数的和。我们需要找到每个奇数 ( x ) 所属的连续奇数序列的长度 ( m )。
2. 二分法求最大 m：对于给定的 ( k )，使用二分法找到最大的 ( m ) 使得 ( m(m-1) + 1 \leq k )。
3. 求和公式：利用数学公式计算前 ( m-1 ) 项的平方和，并结合当前 ( m ) 的贡献值来计算总和。

解决代码

#include <iostream>
using namespace std;

const int mod = 1e9 + 7;
const int inv6 = 166666668; // 6的模逆元，因为 6*166666668 ≡ 1 (mod 1e9+7)

unsigned long long compute_m_max(unsigned long long k) {
    if (k == 0) return 0;
    unsigned long long low = 1, high = 2e18;
    unsigned long long ans = 0;
    while (low <= high) {
        unsigned long long mid = low + (high - low) / 2;
        __uint128_t product = (__uint128_t)mid * (mid - 1);
        if (product <= (__uint128_t)(k - 1)) {
            ans = mid;
            low = mid + 1;
        } else {
            high = mid - 1;
        }
    }
    return ans;
}

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        unsigned long long k;
        cin >> k;
        unsigned long long m_max = compute_m_max(k);
        unsigned long long n = m_max - 1;
        
        // 计算sum_squares = (n)(n+1)(2n+1)/6 mod mod
        unsigned long long part1 = n % mod;
        unsigned long long part2 = (n + 1) % mod;
        unsigned long long part3 = (2 * n + 1) % mod;
        unsigned long long sum_squares = part1 * part2 % mod;
        sum_squares = sum_squares * part3 % mod;
        sum_squares = sum_squares * inv6 % mod;
        
        // 计算当前m_max的贡献
        __uint128_t start = (__uint128_t)m_max * (m_max - 1) + 1;
        unsigned long long end = start + 2 * (m_max - 1);
        unsigned long long count;
        if (k >= end) {
            count = m_max;
        } else {
            count = (k - start) / 2 + 1;
        }
        unsigned long long current = (count % mod) * (m_max % mod) % mod;
        
        unsigned long long s = (sum_squares + current) % mod;
        cout << s << '\n';
    }
    
    return 0;
}

代码解释

1. compute_m_max 函数：使用二分法找到最大的 ( m ) 使得 ( m(m-1) + 1 \leq k )。
2. 主函数：
   • 读取输入的 ( T ) 和每个测试用例的 ( k )。
   • 计算 ( m_{\text{max}} ) 和前 ( m_{\text{max}} - 1 ) 项的平方和。
   • 计算当前 ( m_{\text{max}} ) 的贡献值，并最终求和取模。

该方法通过数学推导和二分法高效地解决了大数问题，确保在合理时间内处理大量测试用例。