算法第三章作业

1 递归方程式、定义、边界条件
状态定义
设 dp[i][j]：从左上角(0,0)走到方格(i,j)时，所需要的最小总通行费用。
题目约束：必须在2N-1时间到达，不能走回头路，只能向右、向下移动。

递归方程
dp[i][j]=grid[0][0] i=0;j=0
dp[0][j-1]+grid[0][j] i=0;j>0
dp[i-1][0]+grid[i][0] j=0;i>0
grid[i][j]+\min(dp[i-1][j],dp[i][j-1]) i>0;j>0

边界条件
起点：dp[0][0] = grid[0][0]，左上角格子，费用就是自身费用
第 0 行：只能从左边向右走dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]
第 0 列：只能从上方向下走dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]

原问题的最优解：dp[N-1][N-1]，也就是右下角位置的 dp 值。

如果下标从 1 开始：dp[1][1]=grid[1][1]
第 1 行：dp[1][j]=dp[1][j-1]+grid[1][j]
第 1 列：dp[i][1]=dp[i-1][1]+grid[i][1]
转移：dp[i][j]=grid[i][j]+min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])
最优解：dp[N][N]

1.2 填表法说明

填表顺序：按从上到下、从左到右逐行填充。
先填起点 dp[0][0]
先把第 0 行全部填完
再把第 0 列全部填完
依次遍历 i 从 1 到 N-1，每行内 j 从 1 到 N-1\依次计算

1.3 时间复杂度、空间复杂度

时间复杂度：O(N^2)
空间复杂度：O(N)

2. 对动态规划算法的理解和体会
   动态规划核心是最优子结构、无后效性、重叠子问题三个性质：
   最优子结构：一个大问题的最优解，可以由它子问题的最优解推导出来。本题走到 (i,j) 的最优路径，一定来自上方或者左侧格子的最优路径。
   无后效性：一旦算出dp[i][j]的最小费用，后续只需要使用这个结果，不再关心这条最优路径是怎么走到 (i,j)的，前面的选择不会被后面的决策影响。
   重叠子问题：不同路径会重复求解同一个子问题（比如多个路线都需要求走到(i-1,j)的最小费用），动态规划用填表保存子问题答案，避免暴力递归大量重复计算，把指数级复杂度降到多项式复杂度。