集训总结（九）

9.24

P11770 檐牙覆雪

暴力很好写，直接枚举即可。单次询问复杂度 \(O(nlogn)\)。打个表，发现每个地方的最大雪堆都是由它的最大质因子位置转移而来.

设 \(f_i\) 表示最后 \(i\) 处最大雪团体积，则有转移:\(f_i=max(f_{\frac{i}{p}})+\frac{n}{\frac{i}{p}}-p+1\)。

于是我们可以预处理出每个数的最大质因子。发现它们会构成一棵树。我们每次往根节点走，在到达的点加上贡献即可。

复杂度 \(O(T+nlogn)\)。

9.25

P6097 子集卷积

首先有 \(h_i=\sum_{j \cup k=i}f_j \times g_k\)。

第一个限制 \(i \cup j=k\)，直接上 \(FMT\) 即可。

第二个限制 \(i \cap j=k\)，可以转换为 \(\left | i \right |+\left | j \right |=\left | i \cup j \right |\)，计算时再开一维记录集合大小即可。

令 \(f_{i,j}=a_j \times [\left | j \right |=i]\)，\(g_{i,j}=b_j \times [\left | j \right |=i]\)，则有 \(h_i=\sum_{k=0}^if_k*g_{i-k}\)。最后答案即为 \(c_i=h_{\left | i \right |,i}\)。

P4463 calc

很容易写出一个暴力 \(dp\)：设 \(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个数取值域范围为 \([1,j]\) 的数的方案数，则有转移：\(f_{i,j}=f_{i-1,j-1}\times j+f_{i,j-1}\)，最终答案即为 \(f_{n,V}\times n!\)。

但此时是 \(O(nV)\) 的，考虑优化。

对 \(f\) 进行差分，令 \(g_{i,j}=f_{i,j}-f_{i,j-1}\)，则有转移：\(g_{i,j}=j \sum_{k=0}^{j-1}g_{i-1,k}\)，同时也有 \(f_{i,j}=\sum_{k=0}^jg_{i,j}\)。

此时可以发现 \(g_{n,i}\) 是关于 \(i\) 的二次函数，证明略。
接下来就很好做了：先 \(dp\) 出值域为 \([1,2n-1]\) 的 \(f\) 值，然后拉插求出这个 \(2n+1\) 次函数，最后带入 \(x=V\) 即可。

9.26

P10102 矩阵

直接判的话是 \(O(n^3)\) 的，考虑优化。

发现对于一个向量 \(D\)，\(D \times A \times B=D \times C\)，而向量和矩阵相乘是 \(O(n^2)\) 的，所以我们可以随机构造一个向量，判断是否满足条件即可。

正确性我不会证，不过听 sgz 说错误率为 \(\frac{1}{mod}\)。

P12479 长野原龙势流星群

为什么大家都写 \(dp\) 呀，只有我觉得这是贪心吗？

考虑一个最大点权的点 \(x\)，那么以它为根的联通块一定只选它一个，这很显然。
我们再考虑它的父亲 \(y\)，不难发现，如果一个联通块包含了 \(y\)，那么再包含一个点 \(x\) 一定不劣。那么我们就可以直接把 \(x\) 和 \(y\) 缩成一个点。用优先队列维护这个过程，将点权变为平均点权即可 \(O(nlogn)\) 解决。

P13523 序列与查询

赛时写的 KTT，成功被眉目出题人卡成 \(70\)。

设 \(f(x)\) 表示长度为 \(x\) 的最大子段和大小，那么此时区间加 \(k\) 对 \(f\) 的影响就是 \(f(x)=f(x)+kx\)。

发现所有 \((x,f(x))\) 构成一个上凸壳，因此我们只需要预处理出上凸壳，查询时在凸壳上二分，即可 \(O(logn)\) 完成一次查询。具体的，我们对于一条斜率为 \(-k\) 的直线，我们在凸壳上二分，找到与凸壳相切的直线即可。

考虑如何预处理凸壳。我们采用分治的方法，将区间 \([l,r]\) 分成 \([l,mid]\) 和 \([mid+1,r]\) 递归下去，处理出区间内的凸壳，然后将左右区间的凸壳合并即可。对于合并，直接闵可夫斯基和就可以。

复杂度 \(O(nlogn+qlogn)\)。

KTT 过几天再写。