自然数幂和（第二类斯特林数）

引言

然而并没有什么内容
之所以是第二类斯特林数的原因是今天比赛写的拉插被卡了。。。
第xxx次被卡常

第二类 \(\text{Stirling}\) 数

将 \(n\) 个两两不同的元素划分为 \(k\) 个互不区分的非空子集的方案数

递推形式

\[\begin{Bmatrix}n\\k \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}n-1\\k-1 \end{Bmatrix}+k\begin{Bmatrix}n-1\\k \end{Bmatrix} \]

边界条件：\(\begin{Bmatrix}n\\0 \end{Bmatrix}=[n=0]\)

于是可以 \(O(n^2)\) 递推得到

容斥原理

\[\begin{Bmatrix}n\\k \end{Bmatrix}=\frac1{k!}\sum_{i=0}^k {(-1)}^k\dbinom k i (k-i)^n \]

就是考虑盒子也互不相同，有多少盒子是空的，剩下盒子无限制放球

注意到右边是个卷积形式，所以可以 \(O(n \log n)\) 得到 \(\begin{Bmatrix}n\\0 \end{Bmatrix},\begin{Bmatrix}n\\1 \end{Bmatrix}...\)

一些等式

\[n^k=\sum_{i=1}^k\begin{Bmatrix}k\\i \end{Bmatrix}i!\dbinom n i \]

考虑组合意义即可

\[\sum_{i=1}^n\dbinom i k = \dbinom{n+1}{k+1} \]

把右边按帕斯卡公式展开即可证明

自然数幂和

\[\begin{aligned} \sum_{i=1}^n i^k &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^k\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}j!\dbinom i j \\ &=\sum_{j=1}^k\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}j! \sum_{i=1}^n \dbinom i j \\ &=\sum_{j=1}^k\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}j!\dbinom{n+1}{j+1} \end{aligned} \]

于是可以 \(O(k)\) 做了