回溯法—子集树与排列树

    回溯法有“通用解题法”之称。用它可以系统地搜索问题的所有解。回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的搜索算法。

    在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。（其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。 而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。

 

1.回溯法的解题步骤

(1)针对所给问题，定义问题的解空间；

(2)确定易于搜索的解空间结构；

(3)以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

 

2.子集树与排列树

下面的两棵解空间树是回溯法解题时常遇到的两类典型的解空间树。

(1)当所给问题是从n个元素的集合S中找出S满足某种性质的子集时，相应的解空间树称为子集树。例如从n个物品的0-1背包问题(如下图)所相应的解空间树是一棵子集树，这类子集树通常有2^n个叶结点，其结点总个数为2^(n+1)-1。遍历子集树的算法需Ω(2^n)计算时间。


(2)当所给问题是确定n个元素满足某种性质的排列时，相应的解空间树称为排列树。例如旅行售货员问题(如下图)的解空间树是一棵排列树，这类排列树通常有n!个叶结点。遍历子集树的算法需Ω(n!)计算时间。



用回溯法搜索子集树的一般算法可描述为：

  1. 	/**
  2. 	 * output(x)     记录或输出得到的可行解x
  3. 	 * constraint(t) 当前结点的约束函数
  4. 	 * bount(t)      当前结点的限界函数
  5. 	 * @param t  t为当前解空间的层数
  6. 	 */
  7. 	void backtrack(int t){
  8. 		if(t >= n)
  9. 			output(x);
  10. 		else
  11. 			for (int i = 0; i <= 1; i++) {
  12. 				x[t] = i;
  13. 				if(constraint(t) && bount(t))
  14. 					backtrack(t+1);
  15. 			}
  16. 	}

用回溯法搜索排列树的一般算法可描述为：

  1. 	/**
  2. 	 * output(x)     记录或输出得到的可行解x
  3. 	 * constraint(t) 当前结点的约束函数
  4. 	 * bount(t)      当前结点的限界函数
  5. 	 * @param t  t为当前解空间的层数
  6. 	 */
  7. 	void backtrack(int t){
  8. 		if(t >= n)
  9. 			output(x);
  10. 		else
  11. 			for (int i = t; i <= n; i++) {
  12. 				swap(x[t], x[i]);
  13. 				if(constraint(t) && bount(t))
  14. 					backtrack(t+1);
  15. 				swap(x[t], x[i]);
  16. 			}
  17. 	}

3.回溯法的应用例子

(a)子集树

（为了便于描述算法，下列方法使用了较多的全局变量）

I.输出集合S中所有的子集，即limit为all；

II.输出集合S中限定元素数量的子集，即limit为num；

III.输出集合S中元素奇偶性相同的子集，即limit为sp。

  1. public class Subset {
  2. 		
  3. 	private static int[] s = {1,2,3,4,5,6,7,8};
  4. 	private static int n = s.length;
  5. 	private static int[] x = new int[n];
  6. 	
  7. 	/**
  8. 	 * 输出集合的子集
  9. 	 * @param limit  决定选出特定条件的子集
  10. 	 * 注：all为所有子集,num为限定元素数量的子集,
  11. 	 *    sp为限定元素奇偶性相同，且和小于8。
  12. 	 */
  13. 	public static void all_subset(String limit){
  14. 		switch(limit){
  15. 		case "all":backtrack(0);break;
  16. 		case "num":backtrack1(0);break;
  17. 		case "sp":backtrack2(0);break;
  18. 		}
  19. 	}
  20. 	
  21.  
  22. 	/**
  23. 	 * 回溯法求集合的所有子集，依次递归
  24. 	 * 注：是否回溯的条件为精髓
  25. 	 * @param t
  26. 	 */
  27. 	private static void backtrack(int t){
  28. 		if(t >= n)
  29. 			output(x);
  30. 		else
  31. 			for (int i = 0; i <= 1; i++) {
  32. 				x[t] = i;
  33. 				backtrack(t+1);
  34. 			}
  35. 		
  36. 	}
  37. 	
  38. 	/**
  39. 	 * 回溯法求集合的所有(元素个数小于4)的子集，依次递归
  40. 	 * @param t
  41. 	 */
  42. 	private static void backtrack1(int t){
  43. 		if(t >= n)
  44. 			output(x);
  45. 		else
  46. 			for (int i = 0; i <= 1; i++) {
  47. 				x[t] = i;
  48. 				if(count(x, t) < 4)
  49. 					backtrack1(t+1);
  50. 			}
  51. 		
  52. 	}
  53.  
  54. 	/**
  55. 	 * (剪枝)
  56. 	 * 限制条件：子集元素小于4,判断0~t之间已被选中的元素个数，
  57. 	 *        因为此时t之后的元素还未被递归,即决定之后的元素
  58. 	 *        是否应该被递归调用
  59. 	 * @param x
  60. 	 * @param t
  61. 	 * @return
  62. 	 */
  63. 	private static int count(int[] x, int t) {
  64. 		int num = 0;
  65. 		for (int i = 0; i <= t; i++) {
  66. 			if(x[i] == 1){
  67. 				num++;
  68. 			}
  69. 		}
  70. 		return num;
  71. 	}
  72.  
  73. 	/**
  74. 	 * 回溯法求集合中元素奇偶性相同，且和小于8的子集,依次递归
  75. 	 * @param t
  76. 	 */
  77. 	private static void backtrack2(int t){
  78. 		if(t >= n)
  79. 			output(x);
  80. 		else
  81. 			for (int i = 0; i <= 1; i++) {
  82. 				x[t] = i;
  83. 				if(legal(x, t))
  84. 					backtrack2(t+1);
  85. 			}
  86. 		
  87. 	}
  88. 	
  89. 	/**
  90. 	 * 对子集中元素奇偶性进行判断，还需元素的数组和小于8
  91. 	 * @param x
  92. 	 * @param t
  93. 	 * @return
  94. 	 */
  95. 	private static boolean legal(int[] x, int t) {
  96. 		boolean bRet = true;   //判断是否需要剪枝
  97. 		int part = 0;  //奇偶性判断的基准
  98. 		
  99. 		for (int i = 0; i <= t; i++) {  //选择第一个元素作为奇偶性判断的基准
  100. 			if(x[i] == 1){
  101. 				part = i;
  102. 				break;
  103. 			}
  104. 		}
  105. 		
  106. 		for (int i = 0; i <= t; i++) {
  107. 			if(x[i] == 1){
  108. 				bRet &= ((s[part] - s[i]) % 2 == 0);
  109. 			}
  110. 				
  111. 		}
  112.  
  113. 		int sum = 0;
  114. 		for(int i = 0; i <= t; i++){
  115. 			if(x[i] == 1)
  116. 				sum += s[i];
  117. 		}
  118. 		bRet &= (sum < 8);
  119. 		    
  120. 		return bRet;
  121. 	}
  122.  
  123.  
  124. 	/**
  125. 	 * 子集输出函数
  126. 	 * @param x
  127. 	 */
  128. 	private static void output(int[] x) {
  129. 		for (int i = 0; i < x.length; i++) {
  130. 			if(x[i] == 1){
  131. 				System.out.print(s[i]);
  132. 			}
  133. 		}
  134. 		System.out.println();	
  135. 	}
  136.  
  137. }


(b) 排列树

（为了便于描述算法，下列方法使用了较多的全局变量）

I.输出集合S中所有的排列，即limit为all；

II.输出集合S中元素奇偶性相间的排列，即limit为sp。

  1. public class Permutation {
  2.  
  3. 	private static int[] s = {1,2,3,4,5,6,7,8};
  4. 	private static int n = s.length;
  5. 	private static int[] x = new int[n];
  6. 	
  7. 	/**
  8. 	 * 输出集合的排列
  9. 	 * @param limit  决定选出特定条件的子集
  10. 	 * 注：all为所有排列,sp为限定元素奇偶性相间。
  11. 	 */
  12. 	public static void all_permutation(String limit){
  13. 		switch(limit){
  14. 		case "all":backtrack(0);break;
  15. 		case "sp":backtrack1(0);break;
  16. 		}
  17. 	}
  18. 	
  19.  
  20. 	/**
  21. 	 * 回溯法求集合的所有排列，依次递归
  22. 	 * 注：是否回溯的条件为精髓
  23. 	 * @param t
  24. 	 */
  25. 	private static void backtrack(int t){
  26. 		if(t >= n)
  27. 			output(s);
  28. 		else
  29. 			for (int i = t; i < n; i++) {
  30. 				swap(i, t, s);
  31. 				backtrack(t+1);
  32. 				swap(i, t, s);
  33. 			}
  34. 		
  35. 	}
  36.  
  37. 	/**
  38. 	 * 回溯法求集合中元素奇偶性相间的排列,依次递归
  39. 	 * @param t
  40. 	 */
  41. 	private static void backtrack1(int t){
  42. 		if(t >= n)
  43. 			output(s);
  44. 		else
  45. 			for (int i = t; i < n; i++) {
  46. 				swap(i, t, s);
  47. 				if(legal(x, t))
  48. 					backtrack1(t+1);
  49. 				swap(i, t, s);
  50. 			}
  51. 		
  52. 	}
  53. 	
  54. 	/**
  55. 	 * 对子集中元素奇偶性进行判断
  56. 	 * @param x
  57. 	 * @param t
  58. 	 * @return
  59. 	 */
  60. 	private static boolean legal(int[] x, int t) {
  61. 		boolean bRet = true;   //判断是否需要剪枝
  62. 		
  63. 		//奇偶相间,即每隔一个数判断奇偶相同
  64. 		for (int i = 0; i < t - 2; i++) {
  65. 			bRet &= ((s[i+2] - s[i]) % 2 == 0);
  66. 		}
  67. 		    
  68. 		return bRet;
  69. 	}
  70.  
  71.  
  72. 	/**
  73. 	 * 元素交换
  74. 	 * @param i
  75. 	 * @param j
  76. 	 */
  77. 	private static void swap(int i, int j,int[] s) {
  78. 		int tmp = s[i];
  79. 		s[i] = s[j];
  80. 		s[j] = tmp;
  81. 	}
  82. 	
  83. 	/**
  84. 	 * 子集输出函数
  85. 	 * @param x
  86. 	 */
  87. 	private static void output(int[] s) {
  88. 		for (int i = 0; i < s.length; i++) {
  89. 				System.out.print(s[i]);
  90. 		}
  91. 		System.out.println();	
  92. 	}
  93. }


参考文献：

1. 《算法设计与分析》


posted @ 2019-03-19 12:58  Le1B_o  阅读(7784)  评论(1)  编辑  收藏  举报