字典树

有时候我们要维护一个字符串集合，然后支持插入、删除、查询某个字符串出现次数和查询某个字符串作为前缀的出现次数。

显然的，暴力肯定 T 飞。

hash：我来！（非常好数据，使我的 hash WA）

所以我们需要字典树。

字典树有三大两大优点：

• 速度快

• 无失误（hash 有一定概率会冲突）

• 支持多模式串匹配

但是，字典树的内存特别庞大，所以数据规模庞大的时候还是乖乖用 hash 吧。

不过，字典树似乎不支持快速判断区间回文串（hash + 树状数组可以 \(O(\log N)\) 完成）。

字典树的结构

下图是一个由 \(\{ \text{a}, \text{asf}, \text{e}, \text{eryt}, \text{radix}, \text{sda} \}\) 构成的 Trie：

（使用 usfca 制作，具体链接可以在 OI-wiki 找到）

可以看到，字典树是一个有向树。

理解（初学者不建议打开）

至于为什么，首先需要理解自动机的概念。

自动机用于判断一组信号序列是否合法（很像图灵机是不是）。

以下是一个判断某个数是否是偶数（以二进制输入）的自动机：

而 Trie 树，就是在给定一个字符串后，如果这个字符串是字符串集合的一个串，那么就接受（上面的“查询某个字符串出现次数和查询某个字符串作为前缀的出现次数”需要两个 Trie，但是可以压成一个）

字典树的操作

插入

很简单，遇到不存在的节点创造一个。

记得维护信息。

删除

遇到一个再也不用的节点就删掉。

记得维护信息。

查找某个字符串

一个一个字符的跳。

查找某个前缀

一样一个一个字符的跳，跳完后返回子树和。