4-7 科学记数法介绍

在进入下一个主题之前，我们先插入一个关于科学记数的讨论。

科学记数法Scientific notation是一种将长数字简洁书写的实用缩写方式。虽然初次接触时可能显得陌生，但理解科学记数法将帮助你掌握浮点数的运作原理，更重要的是认识其局限性。

科学记数法的数字形式如下：有效数字significand × 10^{指数exponent}。例如，在科学记数法1.2×10⁴中，1.2是有效数字，4是指数。由于10⁴等于10,000，因此1.2×10⁴等于12,000。

按惯例，科学记数法中的数字在小数点前保留一位，其余位数置于小数点后。

以地球质量为例。十进制表示法下需书写为 5972200000000000000000000 千克。这不仅是超大数值（甚至超出8字节整数的存储范围），更存在可读性问题（后面的零究竟是19个还是20个？）。即使添加分隔符（5,972,200,000,000,000,000,000,000）仍不易辨识。

采用科学记数法则可表示为5.9722 × 10²⁴千克，可读性显著提升。科学记数法的额外优势在于：通过比较指数即可轻松比较两个极大或极小数值的量级。

由于在C++中输入或显示指数较为困难，我们用字母'e'（有时也用'E'）表示方程中“乘以10的幂次”的部分。例如，1.2 × 10⁴ 可写为 1.2e4，5.9722 × 10²⁴ 可写为 5.9722e24。

对于小于1的数值，指数可为负值。数值5e-2等同于5 * 10⁻²，即5 / 10²，结果为0.05。电子的质量为9.1093837e-31千克。

Linux用户须知
若您使用Arch Linux系统时发现5 * 10⁻²的上标缺少负号，可能需要安装支持显示此类字符的字体。更多信息请参阅此Reddit讨论帖。

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有效数字

假设你需要知道数学常数π在某个方程中的值，但你忘记了。你询问了两个人。一人告诉你π的值是3.14，另一人则说π的值是3.14159。这两个值都是“正确的”，但后者显然更为精确。

理解科学记数法最关键的是：有效数值（即小数点后e前的部分）中的数字称为有效数字significant digits（或有效位数significant figures）。有效数字越多，数值就越精确。

关键要点
有效数字位数越多，数值精度越高。The more digits in the significand, the more precise a number is.

在科学记数法中，我们将3.14写为3.14e0。由于有效数字位数为3，因此该数有3个有效数字。

3.14159则写为3.14159e0。由于有效数字位数为6，因此该数有6个有效数字。

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如何将十进制数转换为科学记数法

请按以下步骤操作：

• 指数从零开始计数。
• 若数字未明确标注小数点（如123），则默认小数点位于右端（如123.）。
• 将小数点左右移动，使小数点左侧仅保留一位非零数字。
  • 小数点每向左移动一位，指数增加1。
  • 小数点每向右移动一位，指数减少1。
• 截除所有前导零（位于有效数字左端）
• 仅当原始数无小数点时，才截除所有尾随零（位于有效数字右端）。我们假设这些零不具意义。若您有额外信息表明它们具有意义，可保留。

以下是示例：

Start with: 600.410
Slide decimal point left 2 spaces: 6.00410e2
No leading zeros to trim: 6.00410e2
Don't trim trailing zeros: 6.00410e2 (6 significant digits)

Start with: 0.0078900
Slide decimal point right 3 spaces: 0007.8900e-3
Trim leading zeros: 7.8900e-3
Don't trim trailing zeros: 7.8900e-3 (5 significant digits)

Start with: 42030 (no information to suggest the trailing zero is significant)
Slide decimal point left 4 spaces: 4.2030e4
No leading zeros to trim: 4.2030e4
Trim trailing zeros: 4.203e4 (4 significant digits)

Start with: 42030 (assuming the trailing zero is significant)
Slide decimal point left 4 spaces: 4.2030e4
No leading zeros to trim: 4.2030e4
Keep trailing zeros: 4.2030e4 (5 significant digits)

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处理尾随零的问题

假设我们让两名实验室助理分别称量同一颗苹果。一人称重后报告苹果重87.0克，另一人则称重后报告苹果重87.000克。假设称重结果准确无误。在前一种情况下，苹果的实际重量可能落在86.950克至87.049克之间。可能是秤的精度仅到十分之一克，也可能是助理进行了四舍五入。后一种情况让我们对苹果实际重量的把握更为精准（其真实重量介于86.99950至87.00049克之间，变动范围更小）。

转换为科学记数法时，小数点后的尾随零被视为有效数字，因此需保留：

• 87.0g = 8.70e1
• 87.000g = 8.7000e1

对于无小数点的数值，尾随零默认视为非有效数字。以数字2100为例（无额外信息），我们假定尾随零不具意义，故予以舍弃：

• 2100 = 2.1e3 （尾随零视为非有效数字）

但若已知该数值为精密测量结果（或实际值介于2099.5至2100.5之间），则应将尾随零视为有效数字：

• 2100 = 2.100e3（尾随零为已知有效数字）

提示

有时会看到数字后明确标注小数点。这表明前导零具有有效性。

• 2100. = 2.100e3（后导零已知有效）

科学记数法的优点在于始终明确有效位数。

从技术角度看，数字 87.0 和 87.000 具有相同数值（及相同类型）。当 C++ 将任一数字存储至内存时，实际存储的仅是数值 87。一旦存储，便无法从存储值判断原始输入的具体数字。

在掌握科学记数法后，我们即可进入浮点数的学习。

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测验时间

问题 #1

将下列数字转换为科学记数法（用 e 表示指数），并确定每个数字有多少个有效数字位。

注意：小数点后保留尾随零，若无小数点则舍去尾随零。

a) 34.50

显示解答

3.450e1 (4 significant digits保留4位有效数字)

b) 0.004000

显示解答

4.000e-3 (4 significant digits)

c) 123.005

显示解答

1.23005e2 (6 significant digits)

d) 146000

显示解答

1.46e5 (3 significant digits)。请注意，我们假设整数部分末尾的零（无小数部分）不属于有效数字。

e) 146000.001

显示解答

1.46000001e5 (9 significant digits)

f) 0.0000000008

显示解答

8e-10 (1 significant digit).正确的有效数字是8（具有1个有效数字位），而非8.0（具有2个有效数字位）。

g) 34500.0

显示解答

3.45000e4 (6 significant digits).我们在此处不截断尾部零，因为该数值确实包含小数点。尽管小数点不影响数值本身，但它会影响精度，因此必须包含在有效数字中。

若数值被指定为34500，则结果应为3.45e4（3个有效数字）。

h) 146000（需理解尾部零具有有效性）

显示解答

1.46000e5 (6 significant digits).