归并分治

归并分治

• 本文用于整理 ACM 博弈论相关知识点与题目，方便自己和队友查阅。
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一、什么是归并分治

归并分治是分治思想最典型的应用之一，核心流程是：

1. 分（Divide）：把序列从中间切成两半
2. 治（Conquer）：递归处理左半和右半
3. 合（Merge）：把两个有序子序列合并成一个有序序列

归并排序就是归并分治的直接产物。但归并分治真正的价值在于：在合并的过程中，可以顺便统计一些“跨左右”的信息。

最常见的应用就是统计逆序对。

二、归并排序模板

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5e5 + 5;
int a[N], tmp[N];

void mergeSort(int l, int r)
{
    if (l >= r) return;
    int mid = (l + r) >> 1;
    mergeSort(l, mid);
    mergeSort(mid + 1, r);

    // 合并两个有序区间 [l, mid] 和 [mid+1, r]
    int i = l, j = mid + 1, k = l;
    while (i <= mid && j <= r)
    {
        if (a[i] <= a[j]) tmp[k++] = a[i++];
        else tmp[k++] = a[j++];
    }
    while (i <= mid) tmp[k++] = a[i++];
    while (j <= r) tmp[k++] = a[j++];

    for (int i = l; i <= r; i++)
        a[i] = tmp[i];
}

三、归并分治原理

1）思考一个问题在大范围上的答案，是否等于，左部分的答案 + 右部分的答案 + 跨越左右产生的答案
2）计算"跨越左右产生的答案"时，如果加上左右各自有序这个设定，是否能简便计算
3）如果以上两点都成立，那么该问题很可能能被归并分治解决

*在求解的过程中加入归并排序过程即可

四、典型应用

1. 计算数组的小和

• 模型：求每个数左侧 ≤ 它的所有数之和，累加起来
• 关键：归并合并两个有序区间时，用双指针维护左半 ≤ arr[j] 的元素和 sum
• 复杂度：O(n log n)

七、总结

要点	内容
核心思想	分治：分左右、递归、合并
模板	双指针合并两个有序区间
逆序对统计	右半元素被选中时，左半剩余个数就是贡献
复杂度	O(n log n)
扩展	CDQ 分治、点分治