Nim尼姆博弈

尼姆博弈（Nim Game）

一、问题模型

有 n 堆石子，每堆有若干个。两人轮流操作，每次可以从任意一堆中取走任意多枚石子（至少取 1 枚，可以取完这一堆）。

取走最后一枚石子的人获胜。问：先手是否存在必胜策略？

对应题目：洛谷 P2197 【模板】Nim 游戏

二、结论

把每一堆石子的数量全部异或起来：

• 如果异或和 != 0，先手必胜（输出 Yes）
• 如果异或和 == 0，先手必败（输出 No）

三、为什么是这个结论

设异或和为 S = a1 ^ a2 ^ ... ^ an。

情况一：S == 0（必败态）

无论先手从哪一堆取走多少石子，这一堆的数量都会改变，异或和就不再是 0。

也就是说，先手无论如何操作，都会把局面交给后手一个 S != 0 的局面。

情况二：S != 0（必胜态）

先手一定可以找到某一堆，取走若干石子，使新的异或和变成 0。

具体做法：设 S 的最高二进制位是第 k 位，那么一定存在某一堆 ai，它的第 k 位也是 1。把这一堆改成 ai ^ S（显然 ai ^ S < ai，相当于取走了 ai - (ai ^ S) 枚），整体异或和就变成了 0。

之后先手只需要一直模仿后手的操作，把局面重新变回 S == 0，就能保证自己取到最后一枚。

四、AC 代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    int t;
    cin >> t;
    while (t --)
    {
        int n;
        cin >> n;
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < n; i ++)
        {
            int cnt;
            cin >> cnt;
            res ^= cnt;
        }
        if (res == 0) cout << "No\n";
        else cout << "Yes\n";
    }
    return 0;
}