数分作业选做巨大简要题解

前言

由于博主选择的是数据科学学院，所以只修微积分不修数学分析，该博客所记录题目均来自舍友。
p.s. 还有时不时有高中同学提问，所以题源又变广了

Problem 1

假设 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续可导且存在导函数，试证明 \(|\max_{a\le x\le b}f(x)|^2\le(b-a)\int_a^b(f'(x))^2\textrm dx\) 恒成立。

解法：

\[\begin{aligned} 可&能会用到的简单性质:(\sum\limits_{i=1}^na_i)^2\le n(\sum\limits_{i=1}^na_i^2)\\ 下&面是证明:\\ 设&取得|\max_{a\le x\le b}f(x)|位置为c\\ &|f(c)|^2=(\int_a^cf'(x)\text dx)^2\\ =&\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}(\sum\limits_{i=1}^nf'(a+\frac{(c-a)i}n))^2(\frac{c-a}{n})^i\\ \le&\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}(c-a)[(\sum\limits_{i=1}^n(f'(a+\frac{(c-a)i}n))^2)\frac{c-a}{n}]\\ =&(c-a)\int_{a}^c(f'(x))^2\text dx\\ \le&(b-a)\int_{a}^b(f'(x))^2\text dx\\ \end{aligned} \]

Problem 2

设函数 \(f(x)\in R[a, b]\), 证明 \(F(x)=\int_a^b|x-t|\times|f(t)|\text{ d}t\) 是 \([a, b]\) 上的下凸函数。

解法：
考虑在 \([a, b]\) 中选取两点 \(a\le x_1<x_2\le b\) 和有理数 \(\lambda\in(0, 1)\)，不妨设 \(x_3=\lambda x_1+(1-\lambda)x_2\)，现在要证明有 \(\lambda F(x_1)+(1-\lambda)F(x_2)\ge F(x_3)\)
首先容易发现 \(x_1<x_3<x_2\)，则当 \(t<x_1\text{ 或 }t>x_2\) 时 \(\lambda|x_1-t|+\lambda|x_2-t|=|x_3-t|\) 当 \(x_1<t<x_2\) 的时候有 \(\lambda|x_1-t|+(1-\lambda)|x_2-t|>|x_3-t|\)，所以 \(\int_a^b(|x_1-t|+|x_2-t|)|f(t)|\text{ d}t\ge\int_a^b|x_3-t|f(t)\text{ d}t\)
移项即证明 \(\lambda F(x_1)+(1-\lambda)F(x_2)>F(x_3)\)